6_具有移动边界的热传导问题.pdf

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1、第六讲具有移动边界的热传导问题——Stefan问题的解析1凝固问题简化的模型dXttpOxltwrgX()t能量平衡tdXtt-pwq=lconductX()ttpqdXq=rglatentdtOxltwrqq=conductlatentgc=0X()tp相界面的位置tt-dXpwl=rgXd()ttl(ttpw-)dtt=X()dXrg2l(ttpw-)X()tt=rgX()tt:相界面的移动速度dXl()tt-pw=dt2rgtdX1:dtt2过冷液体的凝固问题dXttptlOxlrgX()t数学模型和定解条件2

2、¶¶ttll=al2¶¶txx®¥=ttl¥t==0ttl¥tt=lXp¶tdX()t-=lrg¶xdt数学模型的待定系数法从前面半无限介质的导热问题的解可知xxerfc()=-1erf()44aattll2¶¶tt是方程ll的一个解。我们试探=al2¶¶txxt=+tBerfc()能否成为上面问题的解。l¥4atl检查边界条件和初始条件xt=+tBerfc()l¥4atlxx®¥erfc()0®=ttl¥4atlxt=0erfc()0®=ttl¥4atlXt=tt=+tBerfc()lXpp¥4atl相界面的条件X

3、t=tt=+tBerfc()lXpp¥4atltt-p¥B=Xerfc()4atltt-p¥t=const®X=k4aBt®=plerfck()¶t22dX()tkal-ll=llBkexp(-)==rllgrg¶xdp4atttl21llBexp(-=k)kargllp相界面位置的求解21llBexp(-=k)kargllpcplp(tt-¥)k2=keerfck()gp从以上超越方程即可求出界面的位置。值得注意的是相界面X=ka4tl3半空间的溶解过程dXtt0tltpOxlrgX()t控制方程和边界条件2¶¶t

4、tll=al2¶¶txx==0ttl0t==0ttlptt=lXp¶tdX()t-=lrgll¶xdt数学模型的待定系数法从前面半无限介质的导热问题的解可知xerf()4atl2¶¶tt是方程ll的一个解。我们试探=al2¶¶txxt=+tBerf()能否成为上面问题的解。l04atl检查边界条件xt=+tBerf()l04atlxx=0erf()0==ttl04atlXt=tt=+tBerf()lXpp04atl相界面的条件Xt=tt=+tBerf()lXpp04atlt--tttxpp00B=®t=+terf()

5、l0XX4aterf()erf()l44aattlltt-p¥t=const®X=k4aBt®=plerfk()¶t22dX()tkal-ll=-llBkexp(-)==rllgrg¶xdp4atttlæö2k1-lBexpç÷-=karglll4apèøl相界面位置的求解2æök1lBexpç÷-=karglll4apèølcplp(tt0-)k2=keerfck()gp从以上超越方程即可求出界面的位置。值得注意的是相界面X=ka4tl4半空间内的凝固过程dXttltptwOxlllsrrlsgX()t控制方程和边

6、界条件2¶¶ttss=as2¶¶txx==0ttsw2¶¶ttll=al2¶¶txx®¥=ttl¥t==0ttl¥ì¶¶ttdXslïl-=lrgsllí¶¶xxdtït==tt(相界面）îlsp待定系数法xt=+tAerf()sw4atsxt=+tBerfc()l¥4atl相界面æöXt-=tAerfç÷pwç÷4atèøsæöXt-=tBerfcç÷p¥ç÷4atèølæöæöXXt+Aerfç÷=+tBerfcç÷w¥ç44aatt÷ç÷èsløèø试探解中的系数æöXXt-t=Akerfç÷®=pwç÷44a

7、attèøssæöXXa-=ç÷®=sttBkerfcp¥ç÷èø44aallttalæöa+=+ç÷stAerf(k)tBkerfcw¥ç÷aèølt--tttpwp¥AB==erf(k)æöaerfcksç÷ç÷aèøl解的形式xerf()tt-4atsws=ttpw-erf(k)xerfc()tt-4atl¥l=tt-æöap¥erfcksç÷ç÷aèøl相界面的位置¶¶ttdXsll-=lrgsll¶¶xxdt2as-k2e-katt-ekalllsp¥gp+=erf()klsalttpw-ascpl(ttp

8、w-)erfck()al5轴对称的凝固问题dXttl线热t汇ptwOrlllsrrlsgX()t控制方程和边界条件¶¶tat¶æösss=ç÷r¶tr¶¶rrèø¶¶tat¶æölll=ç÷r¶tr¶¶rrèør®¥=ttl¥t==0ttl¥ì¶¶ttdRslïl-=lrgsllí¶¶rrdtït==tt(相界面）îlsp待定系数法2rt=-A