一类非线性退化抛物方程的自由边界问题

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1、摘要在这篇文章中我们利用打靶法(ShootingMethod)研究如下形式的自由边界问题:。:=(t'k(u)jusln'-'。二)二，inD训二&0(t)=0g(M,t'k(u)I。二IN-1。二a)}二=，(。)=0,(t)ult-o=B其中D=((-,t)，二>0(t),t>0},0(t)是一个未知的函数并且是解的一部分.g(M;e,a)是[0，十00)/(0,+00)x[0，十00)上的连续函数，对每一个固定的3和a,g('+,N',a)关于M递增;当M和。固定时，g(M,0,a)关于0严格递减;当M和0固定时，g(M,0,a)关于a严格递减这类自由边界问题起源于

2、多孔介质的渗流问题，近年来国内外许多数学工作者对这一类的非线性抛物方程间题做了大量的研究.参见[3][5][6][10],!川8][91.我们所研究的这一这类自由边值问题，与一般的非线性边值问题不同，其未知函数是〔u,m)，而且自由边值条件是非线性的.我们还注意到这是一类具有退缩性的非线性抛物方程，退缩性的抛物方程不能采用常规的非退缩性抛物方程的解法，要根据不同的方程采用不同的方法，要示具体的方程而定.而且自由边值问题比初边值问题复杂，以上这些都是解决这类问题的难点所在但是由于常微分方程我们已经有了一套完整的理论，诸如解的存在性，唯一性及解的稳定性和对参数的连续性.因此我

3、们可利用常微分方程的结论来解决.要运用打靶法，我们需要了解一些概念:界问题，还需要如下的假设:H1:k(u)>0,k(u)是连续函数，uE[0,+00)从:.N>O,a>。.H3:f(s,U,(s))>0连续，对于几乎所有的sE(0,B),f(s,w)作为。的函数与于(0,+00)上连续且非增.f(s,w)对。满足局部Lipshitx条件.即对每个有限子区间[5,N]，a>N>0都存在一个(0,1)的Lebesg*可积的正值函数L(s)，使得二:，二:任[a,NJ,If(s,w1)一.f(s,wz)1SL(s)lw，一。21)O执g(n-1.a,a)>。且是[0，十DO)

4、、(0，十00)x[0,+00)上的连续函数，对每一个固定的Q和a,g(M,0,a)关于M递增;当M和。固定时，g(M,,Q,a)关于R严格递减;当M和0固定时，g(M,0,a)关于a严格递减.为证主要定理我们做变换(=于，这样就把原来的非线性抛物方程自由边界问题转化成了常微分方程的自由边界问题.!k(u)IU,IN-lu,」’=一。,}。}‘=;。=09(M,k(u)Iu'IN-w',a)I(=eu=G。}。=二=B再令w(u(V=k(u)Iu'IN-'u'，。‘(。)=二，(uW)uV),s=u(#)因此:乏=。一‘(s)=z(s)，这样方程(2)变成:-z(s)((

5、ks))I/N叨Is)a)=z(0),w(B)二0对于方程(3)我们先考虑更一般些的方程:w'(s)=-z(s)。〔[0,B)z'(s)=f(s,w(s))9(M，二(0),a)=z(0),-(B)=0显然两点边值间题(3)是(’)的一个特殊形式，此时:f(s,w(s))=(黯)1/N定理:在假设Hi,Ha,H3下，自由边值的退化非线性抛物方程(1.1)有唯一解(m。),u(x,t))=W,u(O),C=x八，且。(()是如下自由边值常微分方程:!人(。)luIIN-Iu】‘=一。‘(。}(二。。=09(M,k(u)It}j'-lu',a)jc=co=co。!‘=。=B的

6、唯一解u(#)在(CO，十0)单调递增.为了明确解对M和a的相关性，令6=G(M,a),u(0=u(};M,a),(=x/t，则EO(M,a)和一、(f;M,a)依M递增依a递减.对于方程(4)我们利用解的积分表达式将其表示出来.通过研究这个常微分方程来解决自由边值问题(1).主要技术手段是利用打靶法(ShootingAlethod)，在适当的条件下证明了两点边值间题(3)解的存在性和唯一性.方程(-})我们可用不动点定理在假设条件Hi,H2,H3,Ha下，证明其解(一(s),z(s))的存在性且是唯一的·当，(s,w(s)卜(黯)1/N，方程(3)的唯一解(ur(s;B

7、bl,a),z(s;Al,a))对s和M严格递增对。递减.因此s=u(};A1,a)反f数石=z(s;A1,a))是方程(2)的解，则方程(1)的唯一解伸(t),u(x,t))=(fit;u(0),}=xlt，其中。(})是(2)的解.u(0在(S0,+0o)单调递增.为了明确解对.41和a的相关性，令G=Wm,a'),u(O=u(f;A4.a),(=x/t则{o(A1,a)和u(};Al,a)依A1递增对a递减.上述定理，无论在方程的维数及方程的结构，边值的非线性程度都比文{1)[2)复杂与困难.而我们的结果部分地改善了前人