07-08-3高等数学b期末考试参考答案及评分标准(a)

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1、07-08-3期末高数B参考答案及评分标准（A）08.6.20一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)∞n(3x−)1.幂级数∑n的收敛域为[0,6)；n=1n⋅3222∂zz∂2.设zyfxy=+−()，其中f()u可微，则y+=xx2y；∂∂xy⎧xyz++=43.曲线⎨在点(1,1,2)处的法平面方程是xy−=0；22⎩z=+xy222⎧x++=yzz4222线4.设C为曲线⎨，则曲线积分î∫()xyzs++d=83π；⎩z=1C5.交换二次积分的次序222xy01+−122d,xfxyy

2、()d=+d,yfxyx()ddyfxyxy2(),d；∫∫02−−xx22∫∫−11−−1y∫∫02封11−−xx221−y2π2226.三次积分∫∫∫ddxyx(++yz)dz的值是；姓名0001037.散度div()xyyzij+−cos(2)+k=13；(2,0,)πB41nn−248.已知第二型曲线积分∫(x++−4xy)dx(6xy5y)dy与路径无关，则n=3；密A2252π9.平面54x++=yz31被椭圆柱面49xy+=1所截的有限部分的面积为.18二.计算下列各题(本题共4小题，每小题

3、7分，满分28分)学号2∂z10．设zzxy=(,)是由方程xyy+zx+=z1所确定的隐函数，xy+≠0，试求.∂∂xyy+zx+z∂+zyz解yxxyzyyzzxxzdddddd+++++=0，ddzx=−−dy，=−，x++yxy∂+xxy∂zx+z11+−2∂+zxz∂+zyz∂+yxy+zy2z=−，=−=−=（4+3分）222∂+yxy∂∂xyxyxyxy()++()+xyxy+()+共4页第1页22211．计算二重积分∫∫()x+yxydd，其中区域Dx=≤{(,)2yyxyy+≤4}.Dπ

4、π4sinθ452222234解∫∫(xyxy+=+=)dd∫∫()xyxydd2∫02dθ∫sinθρρd=120∫0sindθθ=π2DD（2+2+3分）22212．设立体Ω由曲面xyz+−=1及平面zz==0,3围成，密度ρ=1，求它对轴z的转动惯量.22232π1+z3π32212解∫∫∫()xyv+=ddd∫000z∫θ∫ρρd=+=∫0()1dzz3π（2+3+2分）25ΩdS222213.计算曲面积分∫∫，Σ为球面x+yzR+=上满足0

5、xOy平面上的投影区域为D:⎨，（1分）⎪⎩z=022ddSRσρRh−dρ==RR2π=2πRln（3+1+2分）∫∫z∫∫Rxy222−−∫0R22−ρhΣD2222三（14）．（本题满分8分）求函数f(,)xy=xxy−−在区域Dx={(,)2yxy+≤1}上的最大值和最小值.1解令fxfy=−=120,=−=20，得xy=,=0；（1分）在区域D的边界xy222211∂=Dx{(,)2yxy+=1}上，gx()=f∂D=+−xx1，−≤≤x，令221⎛⎞11⎛⎞15gx′()210=+=x，得x=

6、−，（2分）f⎜⎟,0=，g⎜⎟−=−，2⎝⎠24⎝⎠24⎛⎞111⎛⎞11115g⎜⎟−=−−，g⎜⎟=−，（3分）由比较得ff==,−（2maxmin⎝⎠222⎝⎠22244分）22四（15）。（本题满分8分）计算∫∫(1zxy+∧−∧)ddddyzx，其中S为圆柱面xy+=4S被平面xz+=2和z=0所截出部分的外侧.共4页第2页22解补两个面，S：平面xz+=2被圆柱面xy+=4所截部分，取上侧，在xOy平面12222⎧xy+≤4⎧xy+≤4的投影区域记为D:⎨；S2：⎨，取下侧，由曲面SSS,,

7、12所围成⎩z=0⎩z=0的内部区域记为V，（2分）由Gauss公式得∫∫(1zxy+∧−∧)ddddyzxS=+∫∫(1zxy)dddd∧−yzxzxyx∧−∫∫(1+)dd∧−∫∫dd∧y（1分）SSS++12S1S2=−∫∫∫0dv∫∫(3−+=xxy)dd∫∫ddxy−=2∫∫ddxy−8π（3+1+1分）VDDD2222五（16）.（本题满分7分）计算I=+++++∫xyxyxdl(yxxyn())dy，C其中C是由点B(1+π,0)沿曲线yx=sin(−1)到点A(1,0)的一段弧.解补有向直

8、线AB，由C与AB所围成的内部区域记为D，（1分）由Green公式得2222212Ix=+∫∫CAB+ydlx+y(xy+n(x+x+−=−y))dyABxddx∫∫yxdyπ−π2D（2+2+1分）412=−−ππ（1分）92六（17）（本题满分7分）设aa=1,=2，当n≥3时，有aaa=+，12nnn−−123（1）证明不等式02<