chapt_9 二阶常微分方程级数解法 本证值问题南京大学数学物理方法课件

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1、第九章二阶常微分方程的级数解法第九章二阶常微分方程的级数解法本征值问题§9.1特殊函数常微分方程球坐标：z(r,,)erxrsincos•eyrsinsinezrcosrO(0r,02,0)y体积元2xdVrsindrdd1第九章二阶常微分方程的级数解法柱坐标：xcosysinz(,,zzz)eze0,02,z•ez体积元dVdddzOyx2第九章二阶常微分方程的级数解法（一）Laplace方程2u0（1）球坐标系212u1

2、u1ursin0.(9.1.1)22222rrrrsinrsin分离变量解：u(r,,)R(r)Y(,)代入（9.1.1）得到YddRRYR2Y2rsin0.22222rdrdrrsinrsin1/R(r)Y(,)3第九章二阶常微分方程的级数解法21d2dR11Y11Yrsin.22RdrdrYsinYsin21d2dR11Y11Yrsin22.RdrdrYsin

3、Ysini）径向方程d2dR——Euler方程rR0,后面解出l(l1)drdr该方程的解为：l(l1)R(r)CrDr4第九章二阶常微分方程的级数解法ii）单位球面上方程：21Y1Ysin22Y0sinsin——球函数方程可以进一步分离变量：Y()()2sindd21dsinsin2ddddd2sinsinsin0dd极角方向：''0,(2)()2()Ac

4、osmBsinm,m(m0,1,2,3,).5第九章二阶常微分方程的级数解法1ddsin0sinddsin2令：cosx,()y(x),ddxdsind,dddxdx1ddy1d2dysin(sin)sin,sinddsindxdx2d2dym1x2y0dxdx1x——该方程称为连带Legendre方程。6第九章二阶常微分方程的级数解法当m=0时，称为Legendre方程：d2dy1xy0d

5、xdx即：22dydy1x2xy02dxdx注意：因x=cos,而的变化范围是[0,],所以x的变化范围是[-1，+1]。7第九章二阶常微分方程的级数解法（2）柱坐标系221u1uZ0.22z2试分离变量解:u(,,z)R()()Z(z)代入方程(1)得到:22ZddRRZddZR0.dd2d2dz22/RZ222ddRdZ1d22RddZdzd8第九章二阶常微分方程的级数解法对方向有本征值问题:

6、''0(2)()本征值问题的解:()AcosmBsin,2m(m0,1,2,3,).2222ddRdZ211ddR1dZmm,222RddZdzRddZdz2211ddRm1dZ22RddZdz9第九章二阶常微分方程的级数解法21mZ''Z0R''R'R02分三种情况:(i)ρ方向非齐次边界条件，z方向齐次边界条件，仅当0有满足z方向齐次边界条件的解记2hcos(hz)aZ''

7、Z0Zsin(hz)z向齐次条件hxy10第九章二阶常微分方程的级数解法对方向:ddxddd2d22hh,令x,,22dddxdxddx222xR''xR'xmR0——称为m阶虚宗量Bessel方程。(ii)ρ方向齐次边界条件，z方向非齐次边界条件，令：x,(0)222xR''xR'xmR0——称为m阶Bessel方程。Z''Z0ZCezDez11第九章二阶常微分方程的级数解法(iii)022Z''0R''R'mR0