二阶常微分方程的级数解法及本征值问题

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1、ll(1)对于k0，解为Rr()CrDr；对于k0，可令xkr，R()ry()x，可以写成：2x2122xyxy"'xly0，即得l1/2阶的贝塞尔方程。2（b）柱坐标系中亥姆霍兹方程的分离变量2211uuu22kv0222z令vz(,,)R()()()Zz，分离出三个方程："0，(2)()(1)2ZZ"0(2)2dR1dR22kR0(3)22dd由

2、(1)式易得，()AmBmcossin，m0,1,2,22记常数k，并做代换x(3)式可以化为：222dR1dRmym'10R，m阶贝塞尔方程。（yR"10）222dxxdxxxx综上所述，用球坐标和柱坐标对拉普拉斯方程、波动方程、输运方程进行分离变量，一般来说，会得到一些特殊的变系数的常微分方程，如关联勒让德方程、勒让德方程、贝塞尔方程和球贝塞尔方程等，只有讨论了这些方程的解和本征值问题，才能在正交曲线坐标系中将分离变量法进行到底。本书9.2节-9.4节，以

3、及第十、十一章都是关于这些特殊常微分方程的求解问题，内容相对独立，而且在求解具体的物理问题时，往往只需要用到这些特殊函数的结论，故我们将最后进行简要介绍。本章习题P237：1,3题10EFlnm0（1）0，Z()zCDz；RmmEFm1,2,3,zz（2）0，ZzCe()De222dRdR2令，则方程(4)可化为mR0，称为m阶贝塞2dd尔方程。2（3）0，计0，则方程(3)解得:Z()zCzDzcossin，对于方程(4)，并作

4、代换：，则方程(4)可化为222dRdR2：mR0，称为虚宗量贝塞尔方程2dd在正交坐标系（球坐标和柱坐标系）中的亥姆霍兹方程的分离变量求解。2球坐标：对于vkv0，代入球坐标的拉普拉斯表达式得：2112vv1v2rksinv022222rrrrsinrsin令vr(,,)RrY()(,)，可得：211YYsinll(1)Y0（1）22sinsindd22R2rk

5、rl(1l)R0（2）drdr第（1）式可以进一步分离变量得到：()AmBmcossin，m0,1,2,222ddm和连带勒让德方程：(1)2ll(1)0，cos22dd1连带勒让德方程隐含1(0,)的自然边界条件构成本征值问题，决定l只能取整数值。222dRdR2第（2）式即rr2(krll1)R0，叫做l阶球贝塞尔方程。2drdr9上次课回顾：在正交坐标系（球坐标和柱坐标系）中的拉普拉斯方程u0的分离变量求解。21

6、12uu1u球坐标中：ursin022222rrrrsinrsin分离变量：ur(,,)RrY()(,)，可得：dd2Rrl(1l)0Rdrdr211YYsinll(1)Y0sinsin22l1第一式解为：Rr()CrDl1r第二式为球函数方程，进一步分离变量：Y(,)()()，得：''0,(2)(),dd2sins

7、inll(1)sin0dd解得：()AmBmcossin222ddm令cos，第二式为：(1)2ll(1)0称为l阶关22dd1联（连带）勒让德方程。2211uuu柱坐标中：u0222z分离变量：uz(,,)R()()()Zz''0(1)22dRdR2Z"(2)2RdRdZ结合自然周期条件，解得：()AmBmcossinZZ"

8、0(3)又，22dR1dRmR0(4)22dd8对于k0，可以把自变量r和R()r分别用x和y()x做代换，xkr，R()ry()x，（注意x和y()x只是代换形式不是直角坐标）。2x2122l阶球贝塞尔方程可