2.2 二阶线性常微分方程的级数解法和一般本征值问题

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1、第十章二阶线性常微分方程的级数解法和一般本征值问题¤目录x1常点邻域的级数解法2x2Legendre方程及其本征值问题3一Legendre方程的级数解..............................3二Legendre方程的本征值问题...........................5x3正则奇点邻域的级数解法6x4Bessel方程10一Bessel方程的级数解...............................10二半整数阶Bessel方程......................

2、.........12三整数阶Bessel方程................................13四Neumann函数的一般定义............................13五*Neumann函数的常规级数解法.........................14六*Neumann函数的Frobenius级数解法.....................16七*一般Neumann函数的整数阶极限.......................19x5Sturm{Liouville本征

3、值问题20一Sturm{Liouville本征值问题的一般提法.....................20二Sturm{Liouville本征值问题的一般结论.....................22¤°c1992{2004林琼桂本讲义是中山大学物理系学生学习数学物理方法课程的参考资料，由林琼桂编写制作．欢迎任何个人复制用于学习或教学参考，欢迎批评指正，但请勿用于出售．1x1常点邻域的级数解法2对偏微分方程分离变量后，马上需要解决的就是常微分方程及其本征值问题的求解．本书遇到的都是二阶线性常微分方程，因为

4、它们来源于二阶线性偏微分方程．虽然常微分方程比偏微分方程简单，但也并不存在什么普遍有效的解析求解的程式．我们知道，一阶线性常微分方程的解可以用系数和非齐次项的积分表出，尽管这些积分不一定能积出来（即其原函数不一定是初等函数）．但对于二阶线性常微分方程，并不存在类似的结果．除了常系数情况和少数特殊类型（比如Euler方程）可以用初等函数求解之外，级数解法可能就是最好的选择了．级数解法可以算是比较系统的一种方法，因为对于那些能够用初等函数求解的简单情况，级数解法通常也一样有效．不过，应该指出，能够用级数解法求解的方

5、程也是非常有限的，这取决于方程的系数的性质，通过具体问题的研究，可以逐步看清这一点．x1常点邻域的级数解法二阶线性齐次常微分方程的一般形式是000y(x)+p(x)y(x)+q(x)y(x)=0;(1)对于物理和工程问题中导出的微分方程，x通常是实数，p(x)和q(x)是已知函数，y(x)是未知函数，它们的函数值也都是实数．为了应用复变函数理论来研究微分方程的解，可以把x看作复数，并仍记作x，相应地，p(x)、q(x)和y(x)就成为复变函数，它们在实轴上取相应的实函数值．方程(1)可以附加初始条件0y(x0)

6、=c0;y(x0)=c1:(2)如果不附加初始条件，则通解中含有两个任意常数．显然，方程(1)的解的行为取决于系数的行为．我们假定在复平面的某区域D内，p(x)和q(x)除有限个孤立奇点外是单值解析的．级数解法就是在D内某点x0的邻域或去心邻域内将y(x)展开为幂级数，即Taylor级数、Laurent级数或更一般的幂级数（见后）．展开式的形式取决于p(x)和q(x)在x0的性质．如果p(x)和q(x)在x0解析，则x0称为方程的常点（regularpoint）．如果x0是p(x)和q(x)的极点或本性奇点，它

7、也就称为方程的奇点．本节研究常点的级数解法，其理论基础是下面的定理如果p(x)和q(x)在圆jx¡x0j

8、;(3)k=0k=0k=0其中的展开系数pk和qk是已知的，而ak是未知的．将这些展开式代入方程(1)，合并同幂项，将左边整理成一个幂级数，由于右边为零，故所有(x¡x)k的系数均必须为零，由0x2Legendre方程及其本征值问题3此可得ak间的一系列代数方程．求解这些代数方程即可用a0和a1表出a2;a3;¢¢¢，从而得到级数解．容易看出，a0=c0，a1=c1．如果不给定初始条件