数学物理方法常微分方程的本征值问题.ppt

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1、一、Sturm–Liouville型方程它与一定的线性齐次边界条件或周期性条件或自然边界条件可以构成本征值问题，称为S-L型本征值问题。称为本征值称为权函数1二、几种常见的S-L型本征值问题1、而①②两种情况下，求解S-L型本征值问题2①本征值本征函数3②本征函数本征值42、Bessel方程的本征值问题53、Legendre方程的本征值问题6这个本征值问题来自量子力学中的谐振子问题4、Hermite方程的本征值问题7这个本征值问题来自量子力学中的氢原子问题5、Laguerre方程的本征值问题8三、正

2、交函数系1、正交函数定义：如果两个函数满足，则称它们在区间上正交如果函数是复函数，则写为2、归一化定义：由正交定义，对一本征函数系当时，当时，9称为归一化因子。则有称为正交归一函数系103、完备性条件4、完备性定义：在相应敬意上满足狄里赫利条件的任意函数可以用正交完备函数系展开成傅里叶级数，即：可用正交归一条件求得，即11狄里赫利条件：在上只有有限个第一类间断点，且只有有限个极值点。四、S—L型本征值问题的性质1、条件①及其导数在中连续；②在中连续，在区间端点连续或最多有一阶极点；12③中，在区间端

3、点处可能有一阶零点。2、性质①结论1：所有本征值都是实数，且非负，即②结论2：存在无穷多个实的本征值，成一递增数列对应有无穷多个本征函数称为本征函数系，同一本征值对应的本征函数可能不止一个。13③结论3：对应于不同本征值的本征函数，在区间上带权函数正交，即：展开为绝对且一致收敛，即：广义傅里叶级数。③结论4：本征函数系在区间构成一个完备系，即任意一个具有二阶连续导数的函数，只要它满足本征值问题中的边界条件，均可以用141516171819