数学物理方程八 特-本征值问题.ppt

《数学物理方程八 特-本征值问题.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、本征值问题9.1特殊函数的常微分方程在三维空间使用球座标或柱座标。球极座标边界h柱坐标一、正交曲线座标系中的拉普拉斯方程直角坐标系中的拉普拉斯算子：柱座标：球座标（见附录6）二、拉普拉斯方程的分离变量1.球座标：分离变量欧拉形方程a.解：＃b.球方程再令b1.自然的周期边界条件：b2.l-阶缔合勒让德方程b3.l-阶勒让德方程u是轴对称的，对φ的转动不改变u。2.柱座标：分离变量a.hb.c1.c2.c2.1.贝塞耳方程上下底的非齐次边界条件hc2.2.虚宗量贝塞耳方程上下底的齐次边界条件h三、波动方程的分离变量a.令振动方程亥姆霍兹方程四、热传导方程的分离变量a.令亥姆霍兹

2、方程增长或衰变的方程五、亥姆霍兹方程1.球座标球贝塞耳方程它是阶贝塞耳方程2.柱座标上下底的齐次边界条件h9.2常点邻域的级数解法线性常微分方程在指定初始条件下的级数解法。对于复变函数：一、定义方程的常点：和在其邻域解析。否则为奇点。二、常点邻域的级数解定理：方程的常点的邻域中和解析，则在这个圆中存在唯一点解析解满足初始条件。由于解的唯一性，可将此解写为泰勒级数：三、勒让德方程度级数解法化为标准形式：是方程度奇点在点的邻域：1.级数解带入方程或递推公式系数的两个序列两个积分常量－是方程度奇点，这个级数解在这两点是否收敛？2.解的收敛性可以证明，当解是无穷级数时，不可能在两点同

3、时收敛。如果解是多项式，即只有有限项，这样的解可以在这两点同时收敛。由系数的递推关系可知：当是偶数，则偶次项的系数在以后为零。而奇次项的系数在时为零。当是奇数，则奇次项的系数在以后为零。而偶次项的系数在时为零。这样，得到阶勒让德多项式。3.自然边界条件解在保持有限。确定了勒让德方程的解必须是多项式，必须是整数。“解在保持有限”因此是自然边界条件，勒让德方程变成本征值问题，本征函数为勒让德多项式，是本征值。9.4施图姆－刘维尔本征值问题一定的边界条件限制了常微分方程的解：仅当方程的参数取特定的值时，满足边界条件的解才存在。参数的特定值叫本征值，解叫本征函数，求解的问题就叫本征值

4、问题。一、施图姆－刘维尔本征值问题施图姆－刘维尔型方程：化为施图姆－刘维尔型方程：即二阶常微分方程度最一般的形式：例1振动方程：A为一常数。例2勒让德方程和有限。例3埃尔米特方程增长不超过标准形式例：超几何方程：特点：端点是的一级零点。自然边界条件决定：二、本征值问题不加证明如连续或最多以和为一阶极点，则存在无限多个本征值：及无限多本征函数2.所有本征值证：第一类、第二类边界条件及自然边界条件决定右边一、二项为零。第三类齐次边界条件：所以即3.对应于不同的本征值的本征函数带权正交：本征值与本征函数一一对应：证：第一、第二类齐次边界条件：第三类齐次边界条件：同样：＃4.本征函数

5、族完备三、广义傅立叶级数右边叫的广义傅立叶级数基广义傅立叶系数由正交性模