角动量算符的本征值方程

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1、角动量算符的本征值方程在量子力学中，我们知道，角动量算符，，满足本征值方程:，(1),(2).（3）或取,则,（4）而这一节,我们将从SO(3)群的不可约表示出发，来导出这些关系.由§5.3节(7)式知,(5)其中取形式其性质与球谐函数相同，这里不妨将其取作球谐函数，这样（5）式变为：36(6)首先考虑绕x轴转角为的变换，在该变换下，若不考虑自旋角动量，则函数变换算符（7）由于绕x轴转动角，可视为欧勒角为，，的转动，这样由§5.4节(2)式知：亦即(8)在时，展开式只保留的零级与一级项，则有：或.(9)(1)当，亦即时，由于（阶乘要求），故或,而(10)(2)当,或时，由于（阶乘要求

2、），且，故.当时，，或，则由(8)式知：36(11)当时，，即，则由（8）式得(12)将（7）、（10）、（11）及（12）式代入（6）式得由此得（13）与(1)式完全一致.再考虑饶y轴转角为的变换，在该变换下，若不考虑自旋角动量，则函数变换算符为：（14）该转动的三个欧勒角分别为，，，将其代入§5.4节（2）式得36在时，（15）在展开式中，只保留的零级与一级项，则有或.(1)当，亦即时，由于（阶乘要求），且，故或，则（16）（2）当，或时，由于（阶乘要求），且，故.当时，，与上面同样的讨论知（17）当时，.与上面同样的讨论知（18）将（14）、（16）、（17）及（18）式代入（

3、6）式得（19）与(2)式一致.最后考虑饶z轴转角为36的变换，在该变换下，若不考虑自旋角动量，则函数变换算符为：.（20）该转动的三个欧勒角分别为，，.将其代入§5.4节（2）式得要使上式不等于零，，亦即.另外,（阶乘要求），且，故或.又时，，因此.（21）将（20）与（21）式代入（6）式得（22）与（3）式一致.这样，由SO（3）群的不可约表示，的本征值方程很自然地得到.由（7）、（14）与（20）式知，绕单位矢量、转角为的无穷小转动算符为：（23）令，其中为一无限大的整数，为一有限量，则对于有限转角为的转动，可以看成是转角为的次连续转动而成，所以36.(24)这就是沿任意方向

4、转角为的转动算符，若假设的角坐标为，则其中，，.（25）这样（26）由此可见，（25）式定义的为正则参数，这一点与三个欧拉角是不同的，我们知道不是正则参数.36§5.7SO(3)群表示直积的分解SO(3)群的两个不可约表示的直积仍然是SO(3)群的表示.由§2.9节的讨论知，两个不可约表示的直积一般不再是可约的，它们可按克莱布什-戈登分解方式展开为一系列不可约表示的直和，即（1）其中为不可约表示出现的次数，下面我们就来确定这种分解形式.1.SO(3)群表示的特征标在讨论SO(3)群表示的特征标之前，我们首先来证明下面的结论：绕通过同一点的任意转轴转动相同角度的操作属于同一类.证：设代

5、表绕过点的轴、转角为的转动，如图1示.图1为简单起见，设轴在平面上，上述转动可通过下述步骤进行：36（1）绕轴转角，故与轴重合，记该转动为.（2）绕轴转角，记该转动为.（3）再将绕轴转角回到原处，该转动为.这样（2）根据类的定义，上式中与属同一类，由于这里轴的选取是任意的，因此我们得到结论：绕通过同一点的任意转轴转动相同角度的操作属于同一类.所以它们具有相同的特征标.这样，只要我们知道通过原点某一转轴转动某一角度不可约表示的特征标，也就知道了绕通过任意转轴转动相同角度的不可约表示的特征标.由§5.3节(10)式我们知道，绕轴转动角的不可约表示为：（3）这样由上面的讨论知，SU（2）群

6、的绕通过原点任意轴转过角的不可约表示的特征标为：1.SO(3)群表示的直积的分解为了求得(1)式中直积分解的系数，我们来求表示的直积的特征标.36其中，而故而由（1）式知：比较以上两式知，,当,,其它情况.这个结果表明，在表示的直积中，不可约表示（）仅出现一次，即表示的直积有如下分解亦即36如..36§5.8角动量的耦合与C-G函数角动量的耦合是物理学中的一个重要问题，本节将利用前面得到的转动群的不可约表示来讨论角动量的耦合,求得耦合系数，即C-G系数.由前面的讨论我们可以看出，球谐函数按SO(3)群的不可约表示变换，在一般情况下，考虑到变量，函数也应按SO(3)群的不可约表示变换，

7、亦即(1)其中共个取值.这里按习惯将角动量量子数用符号表示，这里的是与的本征函数，即（2）考虑两个粒子系统，如核外的两个电子，每个电子均在各向同性的中心场中运动，其波函数分别为与，它们分别按SO(3)群的不可约表示变换，即（3）其中.（4）其中.36而,.两个电子组成的耦合系统的波函数为：（5）在的转动变换下，有（6）因此，耦合系统的波函数按SO(3)群表示的直积变换，而由§5.7节的讨论知，直积是可约的，因此不是按SO(3)群的不可约表示变换，因此不是总