4-4角动量算符的本征值和本征态.pdf

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1、§4.4角动量算符的本征值和本征态4.4.1角动量算符的球坐标表示轨道角动量算符的定义是：ˆˆˆLrpri,即是LˆxyyzzLzxi,Li,xiy,ˆˆzyxzyx它们满足对易关系[,LLˆxyz]iyˆzxLzxLL,[y,]iLˆLL,[,Lˆ]iˆˆˆˆˆ,或简记为[,LLˆijijk]iˆkLijk,(,,xyz,,ˆ1,2,3)其中ijk是“完全反对称三阶单位张量”，它的非零分量是12323131

2、23212131321,此外定义L2L2L22L2Lˆˆˆ,xyz那么就有[,LL2ˆ][,LL2ˆ][,LL2ˆ]0.xyz22所以，这些算符的完备集是L以及LLLˆx,,ˆyˆz之中的某一个，通常选为Lˆz。我们的任务是求解L和Lˆz的同时本征方程（注意：这和动量算符的情况完全不同）。这些方程更便于从直角坐标系(,,)xyz转入球坐标系(,,)r求解。这个变换是xryrsincos,zrsinsin,cos,其中r[0,),[0,],[0,2),那么，Lˆz

3、i,11222Lsin.22sinsin注意：它们与r无关。目前暂时用不到Lˆx和Lˆy的表达式。4.4.2Lˆz的本征值和本征函数记Lˆ的本征值为m，本征函数为()，则本征方程是：zmLˆzmmm,即是：dmimm(),dim所以m()Ce。由波函数的单值性，必须有：(2)(),mm所以m0,1,2,22归一化条件m()d1导致C1/2，所以011imm()e.2这些本征函数可以用于求解

4、平面转子问题。1注。这里出现了量子数m(整数集)的情形，其数学原因是圆周S的第一同伦群是，所以m在本质上是一个拓扑量子数，数学上称为第一Chern（陈省身）数，物理上称为绕数(windingnumber)。24.4.3L的本征值和本征函数22L的本征函数是(,)的函数，记为Y(,)，本征值记为，则本征方程是22LYY,即是211YYsin(,).Y22sinsin我们要求Y(,)同时是Lˆz的本征函数，这个要求等价于Y(,)是一个分离变量的解，也就是imY

5、P(,)()e,因而P()满足：21ddPmsin()().PP2sinddsin通常引入wwcos,[1,1],则方程成为：2ddPm2(1)()wPw0.dwdww21这个方程称为连带(associated)（又称缔合）勒让德(Legendre)方程。w1是这个方程的奇点，所以，除非取某些特定值，方程的解会在w1处变成无穷大。的这些允许值是：ll(1),lm,1,mmm我们把对应的解记为P(w)，所以P(w)满足方

6、程lldmdPm22lm(1)(1)w()llP0.w2ldwdw1wm0特别是，当m0时，Pl(w)Pl(w)满足：d2dPl(1)(1)w()llPw0.ldwdw这个方程称为Legendre方程，它的解P(w)是w的l阶多项式，称为Legendre多项式，定义为ll1d2lP(w)(w1).lll2l!dw直接求导就不难验证P(w)满足Legendre方程。P(w)还有如下的母函数（生成函数）展开式：ll1lPwxl().(0x1,1w1)2

7、12wxxl0头三阶Legendre多项式是Pw()1,0Pw()w,112Pw()(3w1).222m连带Legendre方程的解P(w)称为连带Legendre函数，定义为llmmml12/22dPlw()ww(1mll)(1).(llml,1,,)2!ldw事实上，在m0的时候，mmm2/2dPllw()wPw(1)(),mdwmm而Pw()和P(w)只有常数因子的差别：llmmm(lm)!PllwP()w(1)().(lm)!m例如Pw()(m1,0,1)是112012

8、1Pw11()1w1Pw,(),()wP1w,w2换为变量的表达式就是1011P1P1(cos)sin,1Pw(cos)cos,()sin.2综上所述，轨道角动量的本征函数是mmiYlmNPlml(,)(cos)e,