本征值和本征向量

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1、第四章本征值和本征向量化学中的本征值和本征向量问题与量子化学的发展密切相关。求实对称矩阵的本征值和本征向量以及广义本征值和本征向量是分子轨道近似计算方法中最主要的一步。本征值和本征向量的定义：n×n阶方阵，存在λi——本征值xi——本征向量4-1问题的提出Hückel分子轨道法：Schroedinger方程：原子轨道线性组合（LCAO）：存在的稳定体系符合能量最低原理。根据变分原理，通常把波函数选成实函数重叠积分=0基函数为归一化函数令4-1问题的提出(H-EI)C=0本征值E：所求体系的单电子分子轨道的

2、能量，可用来确定这些轨道的能级次序，导出的它们电子构型以及分子的总状态。单电子轨道能量数值本身也可用来估计分子的某些性质，如分子的电离势、电跃迁能量等。（久期方程式）特征向量Cj：其数值与分子中电子密度的分布以及各个原于的有效电荷相关联。它们决定了分子体系的一系列物理性质，如偶极矩等。4-1问题的提出4-2方法原理Jacobi方法求实对称矩阵的本征值和本征向量基本思想：通过一组平面旋转变换（正交相似变换），将实对称矩阵A化为对角矩阵。对角矩阵中对角线上的元素λi即为本征值；每一步的平面旋转矩阵的乘积的第i

3、列即为λi对应的本征向量。iijj正交变换矩阵：——本征值——各列向量是A的各个本征值的本征向量4-2方法原理4-3应用示例质子NMR谱的模拟ABC体系例如CH2CHCN，具有三种磁不等价的质子。三种质子核自旋有8种可能的组合状态K自旋函数总自旋12345678αααααβαβαβαααβββαβββαβββ+3/2+1/2+1/2+1/2-1/2-1/2-1/2-3/2核自旋哈密顿方程：H——8x8阶的哈密顿矩阵Ψ——由8个可能的自旋态的线性组合（跃迁强度）E——相应于8个状态之一的能量特征值（跃迁频率

4、）4-3应用示例状态12345678本征值48.5029.9616.53-4.9875.478-21.34-32.64-41.50本征向量1000000000.04660.2960.954000000.08650.950-0.299000000.9952-0.0964-.0188000000000.03580.08490.996000000.03440.934-.0920000000.934-0.346-.00420000000014-3应用示例由跃迁频率和跃迁强度可以给出NMR的模拟谱图频率/Hz