高量2-算符的本征值问题课件.ppt

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1、§2.2算符的代数运算在量子力学中，经常出现不可对易线性算符的代数运算。在这一节里举几个比较复杂的算例，并用代数方法证明两个常用的算符等式。多重对易式设A,B为两个线性算符,互不对易.定义多重对易式1显然，对于型的多重对易式，有利用上式及其对易关系，容易得出对于型的多重对易式亦有类似的公式。例1证明：[证]利用数学归纳法1)当n=1时，上式变为这是显然的。22)若原式成立，即左边用A作用，利用式有看上式右端第二项，我们希望这两项能合并3为此，令，则与第一项进行比较进行傀标代换，第二项变为同样第一项也相应变为4

2、这样原式就变为考虑两项求和符号后第一个分式的特点，可以将两个求和上下限写成一致，即5从而有所以，若原式对n时成立，则n+1时也成立。3)已知n=1时成立，所以原式对任意整数n都成立。下面利用这个结论来证明一个常用的公式：[证]利用算符指数函数的定义，有所以6利用上例结论，当时则﹟7下面我们把条件放宽一些：由此证明几个关系.虽然，但下面规定一种符号，其意义是，不管A,B是否对易，中A一律写在B前面所得的式子，如8显然它符合普通代数中的二项式定理我们知道，根据定义当时，（利用定义式可以证明）现在规定可以证明（不再

3、证）9（1）令,则有（2）另外，与有如下关系例5证明Glauber公式[证]在一些公式证明过程中很有用。10证毕。﹟11定义：上面在右矢空间中定义了算符A由于在右矢空间中每一个算符A都对应着左矢空间中的某一个算符，这个左矢空间中与A对应的算符,我们称作,称为算符A的伴算符§2.3作用于左矢的算符一、伴算符的定义域和值域是的定义域和值域的左矢空间的对应区域。12伴算符是相互的，下面予以证明。3.伴算符的性质2.运算规则一般表示，但可定义这样就是右矢空间中一个确定的算符了,可省去括号。13[证]取（1）把上式看作

4、左矢与右矢的内积，则（2）把上式看作左矢与右矢的内积，则比较（1）（2）有因为是各自在一定范围内的任意矢量所以故伴算符的伴算符就是原算符本身。14左矢和右矢是两个互为对偶的空间:算符向右可以作用于右矢,向左可以作用于左矢.这种能左能右的性质是对偶空间优于单一空间的主要之点.当然也可定义二、一条定理[证]（1）必要性：是明显的定理：在复矢量空间中，若算符A对其定义域中的任意满足，则必有（2）充分性：在A的定义域中取两任意矢量,则15由此得若对任意满足，则上式右方为0所以有既然上式对任意成立，可将上式中的换为相应

5、左矢为，则有16从而有由于是任意左矢，故有但是任意右矢，所以有﹟前面我们学习了作用于左右矢的算符的性质，即下面看单一空间的情况。17三、单一空间的情况对式右边右矢与左矢的内积单一空间说法：右矢与右矢的内积这正是伴算符的定义式，即在单一空间中常被称为的厄米共轭算符。即若已知算符，有存在满足上式，则即的伴算符。﹟181.定义：§2.4厄米算符和幺正算符一、厄米算符若算符H满足则算符H就是厄米算符，又称自伴算符。在单一空间中称为自轭算符。2.定理：算符H为厄米算符的充要条件是对其定义域中所有的矢量满足[证]（1）必

6、要性：对任意有19（2）充分性：若对任意，，则即因为上式对任意都成立，由上一节所介绍的定理，必有﹟20二、等距算符1.定义：若算符U满足,则为等距算符。2.性质定理：以下三命题是等价的（1）（2）对任意和，U满足（3）对任意都成立。[证]依次证明前一条是后一条的充分条件若，则21令，则即三、幺正算符1.定义：若算符U满足下列性质即，则该算符为幺正算符。显然它是等距算符。222.性质定理除满足等距算符的性质外，另有两个性质定理。定理1在矢量空间中，若是一组基矢，则也是一组基矢。[证]只需证明正交归一完备即可。∴

7、正交归一满足。又取任意两个矢量，因为∴完备性满足（Parseval等式）。23定理2若和是同一空间的两组基矢，则两者必能由一个幺正算符联系起来。即存在一个幺正算符U，使得[证]两组基矢的数目必定是相同的。定义一个算符A，使任取二矢量，由于都是完全的，满足Parseval等式。故24同样，利用可以得到(因为总可以定义一个算符B，使得，这个B就是)得证。即所以联系两组基矢的算符A必然是幺正算符。25四、幺正变换1.矢量的幺正变换把一个矢量空间的全部矢量都用一个幺正算符作用，对其中每一个矢量和，各得一个新矢量和。这

8、一操作称为矢量的幺正变换。性质：由幺正算符的性质可知，幺正变换不改变矢量的模、内积及正交关系。因此一组基矢经过幺正变换后仍是这个空间的一组基矢。从这一点上看，在物理上有时称矢量的幺正变换为矢量（在多维空间）的转动。262.算符的幺正变换设有一个确定的算符A，它对空间中每一个矢量作用得到新矢量：现在用幺正算符U对空间中全部矢量幺正变换设联系与的算符为，即，则为算符A的幺正变换。下面求与的关系。显然27