一维单个守恒型方程的二阶熵耗散格式

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1、维普资讯http://www.cqvip.com2002年6月应用数学与计算数学学报第16卷第1期June，2002C0MM．0NAPPL．MATH．ANDC0MPUTV01．16No．1一维单个守恒型方程的二阶熵耗散格式李红霞茅德康(上海大学理学院。上海，200436)摘要：本文考虑一维单个守恒律方程，对其设计了一种非线性守恒型差分格式．此格式为二阶Godunov型的，用的是分片线性重构．重构函数的斜率是根据熵耗散得到的．格式满足熵条件，且数值实验表明格式具有非线性稳定性．在此格式中一个所谓的熵耗散

2、函数起了很重要的作用。它在每个网格的计算中耗散熵．在文中我们给出了熵耗散函数应满足的条件，并给出了一种具体的构造形式．最后给出了一些数值算例，从中可看出熵耗散函数是如何抑制非物理振荡的，及格式对计算的有效性．关键词：守恒律，熵条件，熵耗散函数．’1．引言本文考虑单个守恒律方程：Ut-4-，(u)。=0，(1．1)其中U是纯量函数，f(u)是一个线性或非线性函数，凸或非凸．本文对(1．1)设计了一种守恒型差分格式．此格式是二阶Godunov型格式．其基本思想是：通过耗散熵来抑制间断附近的非物理振荡，从而

3、稳定数值计算．一类广泛应用的求解(1．1)的数值方法为激波捕捉(Shock—Capturing)法，其特点是：在计算的过程中不考虑间断的存在而在整个求解区域的任何地方都用几乎相同的数值格式．它期望间断在数值解中表现为很窄的过渡层．该方法思想比较简单，便于编写程序．近几年来，人们研究了一系列求解方程(1．1)的间断捕捉法．如TVD(TotalVariationDiminishing一总变差减小)格式(见[2]，[9】)，EN0(EssentiallyNonoscillatory一基本无振荡)格式(见【5

4、]，[6]，【4])，PPM(PiecewiseParabolicMethod一分片抛物线)格式(见[1])．用这些差分格式得到的数值结果的精度比较高，基本上消除了在间断附近的非物理振荡现象，同时对间断的磨损程度也比较低．因为TVD格式和ENO格式均通过不同的方式为计算引入了适当的粘性，抑制了间断附近非物理振荡，因而使格式具有非线性稳定性．从实际的数值实验中可看出数值解和真解逼近得很好．但TVD格式和ENO格式都用到了滑动的网格模板(moving—stencil)，并且在向Euler方程组推广时，要用

5、到按特征场(field—by—field)的分解，给格式带来一定的复杂性．最近Shu所设计的WENO(WeightedEssentiallyNonoscillatory)f见[7]，[11])格式尽管采用了加权平均的方法来设计网格模板，但还是具有这方面的复杂性．我们的格式从熵耗散的角度来设计，要求每一层的计算中熵均有一定量的耗散，从而为数值解的计算引入粘性，来控制非物理振荡，以保证非线性稳定性．熵的耗散本文2002年3月12日收到维普资讯http://www.cqvip.com22应用数学与计算数学学

6、报16卷机理对物理过程起着一种稳定的作用．这使我们想到在数值计算中可用耗散熵来稳定计算．本文中所设计的格式为二阶Godunov型格式，即在重构过程中用的是分片线性重构(参见后面的讨论)．和传统的TVD格式和ENO格式不同的是，线性函数斜率的计算是基于熵耗散的考虑，从而没用到滑动的网格模板．本文的结构如下，第一节为引言，第二节为算法的描述，第三节为熵耗散函数的构造及数值算例分析，最后是结论．2．算法的描述本节将对算法进行详细描述，读者会看到本算法和传统的捕捉法在形式上有很大差异，特别是本算法涉及了数值熵

7、．本文算法中的熵函数和熵流函数分别取为U=uz和F(u)=2，(v)dv其中c为任意一常数．我们的格式仍为Godunov型格式，其中数值解u?仍为对精确解的网格平均的近似，也即：1¨u一u()如，“卜±其中u(x，t)表示方程(1．1)的精确解．我们的算法将涉及到一个数值熵，其为对精确解的熵的网格平均的近似，即：1J+~U(u(x／~,tn))dx=1f'J+ucdz-⋯一以下详细描述算法，也即如何由t=tn层上的数值解{u)和数值熵{叼)来计算t=￡n+一层上的数值解{u)和数值熵{叼+)．第一步：

8、在tn层上对每一网格(zJ一§，xj+})中的数值解进行重构，重构函数(z)是z的一次函数：(z)=u+s(z—)，J=⋯，-1，0，1，⋯，(2．1)其中斜率s由下面关系确定：z(2．2)也即重构函数的熵的网格平均应和该网格上的数值熵相等．由熵函数形式可得：．(2．3)记=笠．显然s是用来逼近是的，因此开方后取s与un+。一u一1同号，也即：s=s9n(un+-一uj~-1)(2．4)维普资讯http://www.cqvip.com1期李红霞，茅德康；