清北启航-北邮信号与系统本科讲义-9

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1、<清北启航www.kao400.com>§§8.6z8.6z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系北京邮电大学电子工程学院退出开始<清北启航www.kao400.com><清北启航www.kao400.com>第2一.z平面与s平面的映射关系页sTs(直角坐标)：s=σ+jωz,s关系z=ejω代入s=σ+jωjω0Oσσ比较0s平面(σ+jω)TσTjωTjθz=e=e⋅ez(极坐标)：z=rejIm(z)⎧半径:r=eσTz=rejθ⎪r0∴⎨ωθ0⎪幅角:θ=ωT=2πORe(z)ω⎩sz平面X<清北启航www.kao400.com><清北启航

2、www.kao400.com>第(σ+jω)TσTjωTz=e=e⋅e3几种情况页⎧σ=0⎧r=11.s平面的原点⎨，z平面⎨，即z=1。⎩ω=0⎩θ=02.s平面σ<0σ=0σ>0σ为常数:−∞→+∞左半平面虚轴右半平面左向右移z平面r<1r=1r>1r为常数:0→+∞单位圆内单位圆上单位圆外半径扩大3.s平面ω=0：实轴→z平面θ=0，正实轴4.z~s映射不是单值的。演示8-6-1演示演示88-6-2-6-2演示8-6-1X<清北启航www.kao400.com><清北启航www.kao400.com>第4二.z变换与拉式变换表达式之对应页()均匀抽样()

3、[()]()[()]()xt⎯⎯→⎯⎯xn,Lxt=Xs，Zxn=Xz能否借助X()s写出X()z?注意：连续时间信号的突变点函数值与对应的序列样值有区别。1例如，阶跃信号u()t在t=0点定义为;2　　　阶跃序列u()n在点n=0定义为1若连续时间信号xˆ(t)由N项指数信号相加组合而成xˆ(t)=xˆ(t)+xˆ(t)+L+xˆ(t)12nNNˆ()pit()=∑xit=∑Aieuti=1i=1<清北启航www.kao400.com>X<清北启航www.kao400.com>第5页容易求得，它的拉氏变换为NA[]ˆ()∑iLxt=i=1s−pi若序列x()

4、nT由N项指数序列相加组合而成x()nT=x(nT)+x(nT)+L+x(nT)12NNN()pinT()=∑xinT=∑AieunTi=1i=1借助模拟滤波它的z变换为NA器设计数字滤[]()∑iZxnT=波器piT−1i=11−ez注意跳变值X<清北启航www.kao400.com><清北启航www.kao400.com>第6注意跳变值页⎧0(t<0)⎧0(t<0)⎪⎪A⎪ˆ()i()x()nT=A()t=0xit=⎨t=0i⎨i⎪2⎪pint()⎪Aepit()t>0⎩Aiet>0⎩iA按抽样规律建立二者联系时必须在0点补足i,即2⎧⎪xtutˆ()()

5、()当n≠0i⎪tn=TxnTun()()=⎨i⎪Aixtutˆ()()+=()当n0⎪i=⎩tnT2X<清北启航www.kao400.com><清北启航www.kao400.com>第例8-6-17页−at()1已知指数函数eut的拉式变换为，求抽样序列s+a−anT()eunT的z变换。解：()−at()1xt=eutX()s=s+a()−anT()Xs只有一个一阶级点s=−a，可以直接求出eunT的z变换为1X()z=−1−aT1−zeX<清北启航www.kao400.com><清北启航www.kao400.com>第8例8-6-2页ω()()0已知正弦

6、信号sinωtut的拉式变换为，求抽样022s+ω0序列sin()ωnTu()nT的z变换。0解：ω()0已知x()t=sin(ω0t)u(t)Xs=22s+ω0显然X(s)的极点位于s=jω，s=−jω,其留数分别为1020−jjA=及A=1222于是，X()s可以展成部分分式jj−X()s=2+2s−jωs+jωX00<清北启航www.kao400.com><清北启航www.kao400.com>第9页可以得到sin()ωnTu(nT)的z变换为0jj−−X()z=2+21−z−1ejω0T1−z−1e−jω0T−1()zsinωT0=−1()−21−2z

7、cosωT+z0X<清北启航www.kao400.com><清北启航www.kao400.com>§8.7用z变换解差分方程北京邮电大学电子工程学院退出开始<清北启航www.kao400.com><清北启航www.kao400.com>第2前序页描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法：时域方法和z变换方法。第七章中介绍了时域方法，求解时过程很烦琐。这一节中我们采用z变换的方法来求解，将差分方程转为代数方程，并且将边界条件直接代入，从而简化了求解过程。X<清北启航www.

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