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1、第9章习题解答9.1证明二元信号检测的（9.2.4）式和（9.2.5）式成立。解:令ttff1tf22I=−+ztytdt()()ztytdt()()[()yt−ytdt()]∫∫∫1001tt002t0由于噪声v(t)是高斯随机过程，那么观测过程z(t)也是高斯的，因此检测统计量I是服从高斯分布的随机变量，对于高斯分布的随机变量，只要确定它的均值和方差就可以确定它的一维概率密度。tftf1tf22I
2、H=y(t)[y(t)+v(t)]dt−y(t)[y(t)+v(t)]dt+[y(t)−y(t)]dt0∫t10∫t00∫t0100201tf2tf=−[y(t)−y
3、(t)]dt+v(t)[y(t)−y(t)]dt∫t01∫t10200因此1tf2E(I
4、H)=−[y(t)−y(t)]dt0∫012t02Var(I
5、H)=E{[I−E(I
6、H)]}00tf2=E{[v(t)[y(t)−y(t)]dt]}∫10t0tftf=E{v(t)[y(t)−y(t)]dtv(τ)[y(τ)−y(τ)]dτ}∫10∫10t0t0tfft=E{E[v(t)v(τ)][y(t)−y(t)][y(τ)−y(τ)]dtdτ}∫∫1010t00ttfftN0=E{δ(t−τ)[y(t)−y(t)][y(τ)−y(τ)]dtdτ}∫∫1010t00t2N
7、tf20=[y(t)−y(t)]dt∫102t0同理可得1tf2E(I
8、H)=[y(t)−y(t)]dt1∫012t0Ntf220Var(I
9、H)=E{[I−E(I
10、H)]}=[y(t)−y(t)]dt11∫102t0定义tf2tf21ε=y(t)dt,ε=y(t)dt,ε=(ε+ε)0∫t01∫t110002分别代表信号y(t)、y(t)的信号能量及它们的平均能量，定义01tfρ=y(t)y(t)dt/ε∫01t0为归一化相关系数，则E(I
11、H)=−ε(1−ρ)，E(I
12、H)=ε(1−ρ)01Var(I
13、H)=Var(I
14、H)=Nε(1−ρ)010那么，检测统计量
15、I在两种不同假设下的概率密度为21⎧[I+ε(1−ρ)]⎫p(I
16、H0)=exp⎨−⎬2πN0ε(1−ρ)⎩2N0ε(1−ρ)⎭21⎧[I−ε(1−ρ)]⎫p(I
17、H1)=exp⎨−⎬2πN0ε(1−ρ)⎩2N0ε(1−ρ)⎭9.2在随机相位信号的检测部分证明(9.3.6)式成立。解：由教材的(9.3.4)式，⎧⎫1T2fztH(()
18、,)10ϕ=Fexp⎨⎬−∫[]ztA()−sin(ω+ϕt)dtN0⎩⎭0⎧⎫1T222=−Fzexp⎨⎬⎡⎤()2t−Az()sin(tωt+ϕ)+ωAsin(t+ϕ)dtN∫0⎣⎦00⎩⎭0而22TT22AAT2T∫∫00Asi
19、n(ω+ϕ=00t)dt[]1cos2(−ω+ϕt)dt=−A∫0cos2(ω+ϕ0t)dt2222πTT22AT当T2时，cos2(ω+ϕ≈td)t0，所以，Atsin(ω+ϕ=)dt，那么ω∫00∫00202⎧⎫12TT2TA2π⎧⎫dϕfztH(()
20、,)ϕ=Fexp⎨⎬−ztdt()−exp⎨Azt()sin(ω+ϕt)dt⎬1∫∫00∫00⎩⎭NN22⎩N⎭π000又⎧1T2⎫f(()
21、)ztH=−Fexp⎨ztdt()⎬0∫N0⎩⎭0所以似然比为2fztH(()
22、)⎧⎫⎧AT2π2T⎫dϕ1Λ=(())zt=−exp⎨⎬⎨expAzt()sin(ωϕt+
23、)dt⎬∫∫0fztH(()
24、)2N00N2π000⎩⎭⎩⎭而TTTzt()sin(ωϕt+=)dtzt()sinωtdtcosϕ+zt()cosωtdtsinϕ∫∫∫000000令TTM=zt()sinωtdtM=zt()cosωtdtI∫00Q∫00则，Tzt()sin(ωϕt+=)dtMcos(ϕϕ−)∫000其中22TT22M=+=MMz()sintωωtdt+z()costtdtIQ(∫∫0000)()T⎛⎞M⎛⎞⎜⎟zt()cosωtdt−−11Q∫00ϕ==tg⎜⎟tg0⎜⎟T⎝⎠MI⎜⎟zt()sinωtdt∫0⎝⎠0于是，2⎧⎫⎧AT2π2AM⎫d
25、ϕΛ=−(())expzt⎨⎬⎨expcos(ϕϕ−)⎬∫022NN0π⎩⎭⎩00⎭2⎧⎫AT⎛⎞2AM=−exp⎨⎬I⎜⎟02NN⎩⎭00⎝⎠2πdϕ其中Ix()=−expcos({}xϕϕ)是第一类零阶修正贝塞尔函数。00∫02π9.3对于如下随机相位信号的检测问题，Hztvt:()()=<0tT<0HztA:()=ωsin(t+Φ)()0+vt
