北邮随机信号答案ch4

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1、第四章习题解答4.1给定实数x和一个平稳随机过程X(t)，定义理想门限系统的特性为⎧1(Xtx)≤Yt()=⎨⎩0(Xtx)>证明：（1）EYt{()}=Fx()（2）RF()τ=−(,xxτ)。XYX证明：（1）由于Yt()只取0或1两个值，并且有PYt{()1}{()}==PXt≤x，PYt{()0}{()}==>PXtx所以Yt()的均值为：EYt{()}1{()1}0{()0}=⋅PYt=+⋅PYt==⋅1{()}PXt≤=xFx()X（2）Yt()的相关函数为：RE()τ=[()(YtYt−τ=⋅)]1{()1,(PYtY=t−

2、τ=)1}Y=PXt{(),()}≤xXt−τ≤xFxx=(,−τ)，得证。X此题表明，理想门限系统的输出的相关函数在数值上等于输入过程的二维概率密度。4.2设对称限幅器的特性为⎧−

3、}{()PXt≥=x}1()−Fx000PYt{()==Xt()}{Px−≤

4、态的随机变量X和Y，其协方差为μ=cov(,)XYE=−(XYE)()()XEY设任意的一个函数gxy(,)，构造随机变量gXY(,)，∞∞EgXY{}(,)=∫∫gxyfxydxdy(,)(,)与μ有关。−∞−∞nnn22∂∂∂EgXY[(,)]⎧⎫gXY(,)∞∞gXY(,)则==E⎨⎬fxydxdy(,)∂∂μnn⎩⎭XY∂∂nn∫∫−∞−∞XY∂n设Xt()+τ和X()t为联合正态分布的，其协方差为：μ=+=+−+cov[Xt(ττττ)()Xt]EXt[()()Xt]EXt[()]EXt[()]=RX()对于零均值二维正态随机过

5、程，⎡⎤1222Φωωτ=(,,)exp−σω+ω−ωωτ()R()XX12⎢⎥1212⎣⎦21∞∞f(,)xy=Φ(,,)ωωτe−+()jxjyωω12ddωω2∫∫X12124π−∞−∞∞∞⎡⎤1∞∞−+()jxjyωωEgXY[(,)]=Φgxyfxy(,)(,)(,,)ωωτe12ddωωdxdy∫∫−∞−∞⎢⎥⎣⎦4π2∫∫−∞−∞X1212对μ求n次导数nn∂EgXY[(,)]∞∞⎡⎤1∞∞∂ΦX(,,)ωωτ12−+()jxjyωω=gxyfxy(,)(,)⎢⎥e12ddωωdxdyn∫∫−∞−∞2∫∫−∞−∞n12∂∂μ

6、π⎣⎦4μn∂ΦX(,,)ωωτ12nnn且=−(1)ωωωΦ(,,)ωτn12X12∂μ2n1(∞∞nnn−+()jxjyωω∂fxy,)(1)−Φωω(,,)ωωτed12ωωd=2∫∫12X1212nn4π−∞−∞∂∂xy22nn∞∞∂∂fxy(,)∞∞gxy(,)所以EgXY[(,)]==gxy(,)dxdyfxydxdy(,)∫∫−∞−∞∂∂xynn∫∫−∞−∞∂∂xynn−ατ4.4设二极管的电压X(t)是零均值正态随机过程，其自相关函数为Rc()τ=e，其中cXαXt()和α为常数，求产生的电流Yt()=Ie的均值、方差及其

7、功率谱。2解：由于正态随机过程X()t的均值m=0，方差σ=R(0)=c，XXX21⎧x⎫所以它的概率密度为fxt(,)=−exp⎨⎬。X2πc⎩⎭2c22cαααXt()∞x1⎧⎫x2又输出Yt()的均值：EYt[()]==EI[e]∫Ieexp⎨⎬−dxI=e，−∞2πc⎩⎭2c2222αXt()∞22ααx1⎧⎫x22c2EYt[()][e]==EI∫Ieexp⎨⎬−dxI=e−∞2πc⎩⎭2c22222222222cccαααcα所以输出Yt()的方差：σ=−=−=−EYt[()]EYt[()]IeIeIe(e1)YαταXt()

8、+Xt()同时由于R()ττ=+=EYt[()()]YtEI[e⋅Ie]Y2(ατXt++)αXt()2⎛⎞αα==IE[e]Iϕ⎜⎟,;τ，X⎝⎠jj而特征函数222⎧1⎫ϕτXi()vv1