4、态的随机变量X和Y,其协方差为μ=cov(,)XYE=−(XYE)()()XEY设任意的一个函数gxy(,),构造随机变量gXY(,),∞∞EgXY{}(,)=∫∫gxyfxydxdy(,)(,)与μ有关。−∞−∞nnn22∂∂∂EgXY[(,)]⎧⎫gXY(,)∞∞gXY(,)则==E⎨⎬fxydxdy(,)∂∂μnn⎩⎭XY∂∂nn∫∫−∞−∞XY∂n设Xt()+τ和X()t为联合正态分布的,其协方差为:μ=+=+−+cov[Xt(ττττ)()Xt]EXt[()()Xt]EXt[()]EXt[()]=RX()对于零均值二维正态随机过
5、程,⎡⎤1222Φωωτ=(,,)exp−σω+ω−ωωτ()R()XX12⎢⎥1212⎣⎦21∞∞f(,)xy=Φ(,,)ωωτe−+()jxjyωω12ddωω2∫∫X12124π−∞−∞∞∞⎡⎤1∞∞−+()jxjyωωEgXY[(,)]=Φgxyfxy(,)(,)(,,)ωωτe12ddωωdxdy∫∫−∞−∞⎢⎥⎣⎦4π2∫∫−∞−∞X1212对μ求n次导数nn∂EgXY[(,)]∞∞⎡⎤1∞∞∂ΦX(,,)ωωτ12−+()jxjyωω=gxyfxy(,)(,)⎢⎥e12ddωωdxdyn∫∫−∞−∞2∫∫−∞−∞n12∂∂μ
6、π⎣⎦4μn∂ΦX(,,)ωωτ12nnn且=−(1)ωωωΦ(,,)ωτn12X12∂μ2n1(∞∞nnn−+()jxjyωω∂fxy,)(1)−Φωω(,,)ωωτed12ωωd=2∫∫12X1212nn4π−∞−∞∂∂xy22nn∞∞∂∂fxy(,)∞∞gxy(,)所以EgXY[(,)]==gxy(,)dxdyfxydxdy(,)∫∫−∞−∞∂∂xynn∫∫−∞−∞∂∂xynn−ατ4.4设二极管的电压X(t)是零均值正态随机过程,其自相关函数为Rc()τ=e,其中cXαXt()和α为常数,求产生的电流Yt()=Ie的均值、方差及其
7、功率谱。2解:由于正态随机过程X()t的均值m=0,方差σ=R(0)=c,XXX21⎧x⎫所以它的概率密度为fxt(,)=−exp⎨⎬。X2πc⎩⎭2c22cαααXt()∞x1⎧⎫x2又输出Yt()的均值:EYt[()]==EI[e]∫Ieexp⎨⎬−dxI=e,−∞2πc⎩⎭2c2222αXt()∞22ααx1⎧⎫x22c2EYt[()][e]==EI∫Ieexp⎨⎬−dxI=e−∞2πc⎩⎭2c22222222222cccαααcα所以输出Yt()的方差:σ=−=−=−EYt[()]EYt[()]IeIeIe(e1)YαταXt()
8、+Xt()同时由于R()ττ=+=EYt[()()]YtEI[e⋅Ie]Y2(ατXt++)αXt()2⎛⎞αα==IE[e]Iϕ⎜⎟,;τ,X⎝⎠jj而特征函数222⎧1⎫ϕτXi()vv1