清北启航-北邮信号与系统本科讲义-8

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1、<清北启航www.kao400.com>§§8.1Z8.1Z变换的定义变换的定义北京邮电大学电子工程学院退出开始<清北启航www.kao400.com><清北启航www.kao400.com><清北启航www.kao400.com><清北启航www.kao400.com>第3一.Z变换导出页抽样信号的拉氏变换→离散信号的z变换x(t)xs(t)x(n)g(n)g(t)k数字滤kA/DD/A波器p(t)信号的理想抽样x(t)=x(t)⋅δ(t)sT∞∞=x(t)∑δ(t−nT)=∑x(nT)δ(t−nT)n=−∞n=−∞对xs

2、(t)取拉氏变换∞⎡⎤Xs(s)=L[]xs(t)=L⎢∑x(nT)δ(t−nT)⎥⎣n=−∞⎦X<清北启航www.kao400.com><清北启航www.kao400.com>第4z变换导出（续）其中s=σ+jω页∞∞()∑∑[]−snTXs=x(nT)Lδ(t−nT)=x(nT)esnn=−∞=−∞sT，令T=1，x(nT)(=xn)引入复变量z=e，为连续变量∞−nX(s)

3、sT=∑x(n)z=X(z)sz=en=−∞∞−n对任一信号)n(x的（双边）z变换式为X(z)=∑x(n)zn=−∞X<清北启航www.kao4

4、00.com><清北启航www.kao400.com>第5二.对z变换式的理解页∞−nX(z)=∑x(n)zn=−∞21=Kx(−)2z+x(−)1z142444344z的正幂0−1−2−n+x)0(z+x)1(z+x)2(z+Lx(n)z+K142444444344444z的负幂()−1Xz是z的幂级数级数的系数是x(n)幂-n中的n指出x(n)的位置X<清北启航www.kao400.com><清北启航www.kao400.com>第6说明页−∞

5、取单边z变换，或对因果信号（有起因序列）n≥0存在的序列取z变换∞−nX(z)=∑x(n)z,单边z变换n=0X<清北启航www.kao400.com><清北启航www.kao400.com>§§8.28.2zz变换的收敛域变换的收敛域北京邮电大学电子工程学院退出开始<清北启航www.kao400.com><清北启航www.kao400.com>第2一.收敛域的定义页∞−n对于任意给定的序列x(n)，能使X(z)=∑x(n)zn=−∞收敛的所有z值之集合为收敛域。∞−n即满足∑x(n)z<∞的区域（ROC).n=−∞ROC:

6、Regionofconvergence不同的x(n)的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的z变换，故在确定z变换时，必须指明收敛域。X<清北启航www.kao400.com><清北启航www.kao400.com>第3二.两种判定法页1.比值判定法∞若有一个正项级数，∑ann=−∞an+1令lim=ρ（8−7）n→∞an则：ρ<1：收敛ρ=1：可能收敛也可能发散ρ>1：发散X<清北启航www.kao400.com><清北启航www.kao400.com>第42.根值判定法页即令正项级数的一般项a的n次根的极限等于ρ，nn

7、即（a=ρ8－8）limnn→∞则ρ<1：收敛ρ=1：可能收敛也可能发散ρ>1：发散X<清北启航www.kao400.com><清北启航www.kao400.com>第5三.讨论几种情况页1.有限长序列的收敛域x(n),n1≤n≤n2例题8-2-12.右边序列的收敛n()x(n)=aun0≤n≤∞3.左边序列的收敛n()x(n)=−au−n−1n≤−14.双边序列的收敛()nxn=b−∞≤n≤∞b>0X<清北启航www.kao400.com><清北启航www.kao400.com>第6例8-2-1n=−2,n=3页12n23

8、−n−nX(z)=∑x(n)z=∑x(n)zn=n1n=−2210=x(−)2z+x(−)1z+x)0(z142444344123z<∞常数−1−2−3+x)1(z+x)2(z+x)3(z1424444434444z>0所以，收敛域为0<清北启航www.kao400.com>第ROC：z>a72.右边序列的收敛页n()x(n)=aun0≤n≤∞n+1⎛a⎞n1−⎜⎟∞∞n−n⎛a⎞⎝z⎠X(z)=∑az=∑⎜⎟=lim⎝z⎠n→∞an=0n=01−za当<1，即z>a

9、时收敛z例题8-2-21zX()z==az−a返回1−zX<清北启航www.kao400.com><清北启航www.kao400.com>第例8-2-2⎧n⎛1⎞8⎪⎜⎟n≥0页求信号x(n)=⎨⎝3⎠的z变换的收敛域。⎪⎩0n<0nn∞∞∞−n⎛1⎞−n⎛1⎞X(z)=∑x(n)z=∑⎜