工程力学 第21章 动能定理及其应用new

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1、第21章动能定理及其应用动能是物体机械能的一种形式，也是作功的一种能力。本章介绍的动能定理就是建立质点系统动能的变化与力作功之间的关系。动量定理、动量矩定理用矢量方程描述，动能定理则用标量方程表示。求解实际问题时，往往需要综合应用动量定理、动量矩定理和动能定理，本章的最后将作简单介绍。§21-1力的功21－1－1物理学相关内容的回顾21－1－2作用在刚体上力的功、力偶的功§21-2质点系的动能与刚体的动能21－2－1质点系的动能21－2－2刚体的动能§21-3动能定理及其应用21－3－1质点系的动能定理21－

2、3－2动能定理的应用举例§21-4势能的概念机械能守恒定律及其应用21－4－1有势力和势能21－4－2机械能守恒定律§21-5动力学普遍定理综合应用1§21-6结论与讨论21－6－1动能定理在工程中的应用－功率方程21－6－2运动学方程的重要性21－6－3关于速度瞬心的应用习题本章正文返回总目录2第21章动能定理及其应用§21－1力的功21－1－1物理学相关内容的回顾物理学中已经给出了动能和功的概念，并对质点的动能定理进行了讨论，这里仅作简单回顾。力的功定义为图21－1力的功1．力Fi的元功力F的元功为：id

3、W=F×dr=Fdscos(F，t)=Fdx+Fdy+Fdziiiiixyz需要注意的是，一般情形下，dW并不是功函数W的全微分，仅是F×dr的一种记号。ii2，力Fi在点的轨迹上从1点到2点所作的功如图21－1所示，力F在点的轨迹上从M1点到M2点所作的功iM2W=F×dr12òMii1由此得到了两个常用的功的表达式n重力的功对质点W=mg（z-z）1212对质点系W=Mg(z-z)12C1C2其中zC1和zC2为质心的坐标。3n弹性力的功k22W=[(r-l)-(r-l)]1210202或k22W=（d-

4、d）12122图22－2弹性力的功式中符号意义示于图22－2中。对直线弹簧即为k22W=(x-x)1212221－1－2作用在刚体上力的功、力偶的功一般情形下，作用在质点系（刚体系）上的力系（包括内力系）非常复杂，需要认真分析哪些力作功，哪些力不作功。在动量和动量矩定理中，只有外力系起作用，内力不改变系统的动量或动量矩；在能量方法中，内力对系统的能量改变是有影响的，许多内力是作功的，这是学习本章内容时必须注意的。1．定轴转动刚体上外力的功和外力偶的功图21－3定轴转动刚体上外力的功如图21－3所示，刚体以角速

5、度ω绕定轴z转动,其上A点作用有力F，则力在A点轨4迹切线t上的投影为F=Fcosqt定轴转动的转角j和弧长的关系为ds=Rdj则力F的元功为dW=F×dr=FRdj=M(F)djtz其中M(F)=FR为力F对轴Z的矩。于是，力在刚体由角度j转到角度j时所作的功zt12为j2W=M(F)dj（21－1）12òzj1据此，可以得到两种常用的功的表达式：n力偶的功若力偶矩矢M与z轴平行，则M作的功为j2W=Mdj（21－2）12òj1若力偶矩矢M为任意矢量，则M作的功为j2W=Mdj（21－3）12òzj1其中M

6、为力偶矩矢M在z轴上的投影。zn扭转弹簧力矩的功图21－4扭转弹簧力矩的功扭转弹簧如图21－4所示，设水平时扭簧未变形，且变形时在弹性范围之内。此时扭簧作用于杆上的力对点O的矩为M=-kq其中k为扭簧的刚度系数。当杆从角度q转到角度q时，力矩M作的功为12q21212W=(-kq)dq=kq-kq（21－4）12ò12q1222.内力的功5质点系的内力总是成对出现的，且大小相等、方向相反、作用在一条直线上。因此，质点系内力的主矢量等于零，但不能认定内力的功也是零。事实上，在许多情形下，物体的运动是由内力作功而

7、引起的。当然也有的内力确实不作功。l内力作功的情形日常生活中，人的行走和奔跑是腿的肌肉内力作功；弹簧力作功等等。这些都是内力作功的例子。工程上，所有的发动机从整体考虑，其内力都作功；机器中有相对滑动的两个零件之间的内力作负功；在弹性构件中的内力分量（如轴力、剪力、弯矩等）作负功。l刚体的内力不作功刚体内任何两点间的距离始终保持不变，所以刚体的内力所作功之和恒等于零。l理想约束的情形光滑的固定支承面、轴承、光滑的活动铰链、销钉和活动支座都是理想约束。理由是它们的约束力不作功或作功之和等于零。柔性约束也是理想约束

8、。因为它们只有在拉紧时才受力，这时与刚性杆一样，内力作功之和等于零。纯滚动的圆盘，因其在接触点无相对位移，圆盘与地面接触点上的每对摩擦力作功之和恒等于零，因此纯滚动的圆盘也可看成具有理想约束。总之，内力不能改变质点系的动量和动量矩，但它可能改变质点系的能量；外力能改变质点系的动量和动量矩，但不一定能改变其能量。§21－2质点系的动能与刚体的动能物体由于机械运动而具有的能量称为动能。动能的概念与计算非