工程力学 第21章 动能定理

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1、范钦珊教育教学工作室FANQin-Shan’sEducation&TeachingStudioeBook工程力学(2)学习指导（第21章）2003-7-11第四篇工程动力学第21章动能定理及其应用动能是物体机械能的一种形式，也是作功的一种能力。本章介绍的动能定理就是建立质点系统动能的变化与力作功之间的关系。动量定理、动量矩定理用矢量方程描述，动能定理则用标量方程表示。求解实际问题时，往往需要综合应用动量定理、动量矩定理和动能定理。一、教学要求与学习目标1、正确理解功的概念，能够熟练地计算重力、弹性力以及摩擦力的功。2、正确理解动能的概念，能

2、够熟练地计算质点系、刚体及刚体系的动能。3、正确认识和理解动能定理以及动能定理的微分形式或积分形式，能够准确地应用动能定理建立系统运动微分方程，解决系统已知力求运动的问题。4．正确理解势能的概念，能够正确而且熟练地计算重力和弹性力的势能。5、正确认识和理解机械能守恒定律，能够正确而且熟练地应用机械能守恒定律建立系统运动微分方程。6、能够根据问题的性质，综合应用动量定理、动量矩定理及动能定理求解两类动力学问题：已知质点系运动求未知约束力；已知力求的系统运动规律。二、理论要点1、力的功2l力F的元功idW=F×dr=Fdscos(F，t)iii

3、ii=Fdx+Fdy+Fdzxyz一般情形下，dW并不是功函数W的全微分，仅是F×dr的一种记号。iil力F在点的轨迹上从1点到2点所作的功iM2W=F×dr12òMii1l重力的功对质点W=mg（z-z）1212对质点系W=Mg(z-z)12C1C2其中zC1和zC2为质心的坐标。l弹性力的功k22W=[(r-l)-(r-l)]1210202或k22W=（d-d）12122对直线弹簧即为k22W=(x-x)121222、定轴转动刚体上外力的功和外力偶的功刚体以角速度ω绕定轴z转动,其上A点作用有力F，则力F的元功为3dW=F×dr=FRd

4、j=M(F)djtz其中M(F)=FR为力F对轴Z的矩。于是，力在刚体由角度j转到角度j时zt12所作的功为j2W=M(F)dj12òzj1据此，可以得到两种常用的功的表达式：力偶的功：若力偶矩矢M与z轴平行，则M作的功为j2W=Mdj12òj1若力偶矩矢M为任意矢量，则M作的功为j2W=Mdj12òzj1其中M为力偶矩矢M在z轴上的投影。z3、关于内力功工程上，所有的发动机从整体考虑，其内力都作功；机器中有相对滑动的两个零件之间的内力作负功；在弹性构件中的内力分量（如轴力、剪力、弯矩等）作负功。l刚体的内力不作功刚体内任何两点间的距离始终

5、保持不变，所以刚体的内力所作功之和恒等于零。l理想约束的情形光滑的固定支撑面、轴承、光滑的活动铰链、销钉和活动支座都是理想约束。理由是它们的约束力不作功或作功之和等于零。4柔性约束也是理想约束。因为它们只有在拉紧时才受力，这时与刚性杆一样，内力作功之和等于零。纯滚动的圆盘，因其在接触点无相对位移，圆盘与地面接触点上的每对摩擦力作功之和恒等于零，因此纯滚动的圆盘也可看成具有理想约束。4、质点系的动能质点系的动能为质点系内各质点动能之和：12T=mvåiii2动能是度量质点系整体运动的另一物理量，是正标量，与速度的大小有关，但与速度的方向无关。

6、5、刚体的动能刚体的动能取决于刚体的运动形式。l平移刚体的动能刚体平移时，其上各点在同一瞬时具有相同的速度，并且都等于质心速度。因此，平移刚体的动能121212T=mv=(m)v=MvåiiåiCCi222这表明，刚体平移时的动能，相当于将刚体的质量集中于质心时的动能。l定轴转动刚体的动能刚体以角速度w绕定轴z转动时的动能1212212T=m(rw)=w(mr)=Jwåiiåiiz2i2i25其中J为刚体对定轴Z的转动惯量。zl平面运动刚体的动能刚体的平面运动可分解为随质心的平移和绕质心的相对转动，其动能为：1122T=+MvJwCC22其

7、中v为刚体质心的速度；J为刚体对通过质心且垂直于运动平面的轴的转动CC惯量。6、质点系动能定理质点系动能定理的微分形式12d(åmivi)=ådWii2i或简写为dT=dW同理还可以得到动能定理的积分形式1212åmivi2-åmivi1=åWi12i2i2i简写为T-T=W2112上式等号右侧的功W为系统全部可作功力所作之功的总和，它包括外力功和内12力功，并且这些力可能是主动力也可能是约束力，只有在理想约束系统中，约束6力才不作功。7、有势力和势能l有势力的概念如果作用在物体上的力所作之功仅与力作用点的起始位置和终了位置有关，而与其作用

8、点经过的路径无关，这种力称为有势力或保守力。重力、弹性力等都具有这一特征，因而都是有势力。l势能势能是质点系（质点）从某位置（点）M运动到任选的零势位置（零势点）M时，有势力所作