2013电磁场与电磁波2-静电场3 [兼容模式]

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1、静电场的基本方程【积分形式】Eld0DSdQlS【微分形式】EE0(=-)D线性、各向同性媒质：DE2若有源，则Possion方程2若无源，则0Laplace方程2拉普拉斯算子：=直角坐标系中：2==(aaaaaa)()xyzxyzxyzxyz222222xyz22211圆柱坐标系中：=()r222rrrrz222111球坐标系中：=()r(sin)22222rrrrs

2、inrsin静电场的两类问题：1.给定电场分布（D或E），求解相应源。D2.给定电荷分布，求解分布电荷所产生的电场。''1(rdV)直接求解：E()r=aV'2R4R0''1(rdV)通过电位求解：()r=4V'RE=-0高斯定理求解：DSdQS边值问题：给定边界条件下求解泊松方程的问题。第一类边值：已知场域边界上电位函数。f1()sS第二类边值：已知场域边界上电位函f()s2n数的法向导数。S第三类边值：已知场域一部分边界上()(fs)3n的电位函数和其余部分边界上的电位函S数的法向导

3、数。边值问题的求解：解析方法：镜像法,分离变量法数值方法：有限差分法例设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度为，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。解:采用球坐标系,分区域建立方程221dd1()r(0ra)12rdrdr0221dd2()r022(ar)rdrdr体电荷分布的球形域电场对两个方程进行积分得通解2rC1()()3rCCrC112246rr0边界条件C012rara10r有限值11200C参考点电位00rara24rrr

4、解得23aaCC,23230022电位：1()ra(3r)0ra603a()rar23r0电场强度（球坐标梯度公式）：r1raEr()aa011rrr303a2arEr()aa22rr2rr30对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由得到电场强度E的分布。E边界条件已经得到静电场和电位满足的方程E0D2若有源，则Possion方程2若无源，则

5、0Laplace方程这些方程反映空间点上静电场的特性。但是它们是微分方程，只适合于场函数连续可导的情形。对于有媒质突变的问题，场函数不再是连续可导，因此场方程的微分形式不在适用。通常遇到的静电场问题含有不同介质和导体。为此，需要寻找分界面和边界上静电场满足的方程，称之为静电场的边界条件。边界条件研究分界面两边的场的关系。研究边界问题的方法是从场方程的积分形式出发，因为积分形式的方程不受连续性的约束。12介质交界面金属边界介质分界面上电场边界条件【法向电场边界条件】应用Gauss定理，由于柱面无限小，有DDdS12nDSnSnSD

6、a4/Rh21RSD2Da4/Rh22Rh1D()DDnSh01122同时QdvSh0sfV注意:n是由介质2指向介质1。于是()DDn12sf写成标量形式DD12nnsf介质分界面上的法向电位移的差等于分界面上的面自由电荷密度。如果分界面上无自由电荷，则介质分界面上法向电位移矢量连续，即DD12nn对于各向同性媒质，边界条件可写出EE11nn22sf如果分界面上无自由电荷，则EE11nn22说明介质分界面上法向电场强度不连续。如果考虑介质分界面上的束缚电荷密度s，则不

7、难导出EE()/12nnss0可见，在介质分界面上法向电位移和电场强度之所以不连续是因为在分界面上分布有表面电荷。【切向电场边界条件】ns应用电场环路积分公式t1hEEdltEltl122albCaaEnhh/2En/212bbEnhh/2En/2(EEt)lh012120()EEt0即12写出标量形式EE012tt所以，分界面上切向电场连续。通常希望用分界面法向单位矢表示边界条件，为此考虑tsn则()EEtEEsn()(