第二章 随机过程的基本概念new

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1、第2章随机过程的基本概念第2章随机过程的基本概念理学院施三支第2章随机过程的基本概念内容提要随机过程的概念随机过程的数字特征复随机过程几种重要的随机过程理学院施三支第2章随机过程的基本概念2.1随机过程的概念随机过程——随机变量族随机过程几个例子：生物群体的生长问题：以X表示在t时刻群体的个数，对t每一个t，X是一个随机变量．若从t=0开始，每隔24小t时对群体个数观测一次，则{X,t=0,1,…}是随机过程．t某电话交换台在时间段[0,t]内接到的呼叫次数是与t有关的随机变量X(t)，对于固定的t，X(t)是一个取非负整数的随机变量，则{X(t),t[0,)}是随机过

2、程．理学院施三支第2章随机过程的基本概念随机过程的定义[定义]设(,,P)是概率空间，T是给定的参数集，若对每个tT，有一个随机变量X(t,w)与之对应，则称随机变量族{X(t,w),tT}是(,,P)上的随机过程，简记为随机过程{X(t),tT}或{X,tT}．T称为参数集，通t常表示时间．理学院施三支第2章随机过程的基本概念状态与样本函数X(t,w)是定义在T上的二元函数状态——对于固定时刻tT，X(t,w)是(,,P)上的随机变量，此时把X(t)所取的值称为随机过程X(t)在时刻t所处的状态．X(t)的所有可能状态所构成的集合称为状态空间或相空间，记为I．

3、样本函数——对于固定样本点w，X(t,w)是定义在T上的普通函数，称之为随机过程{X(t),tT}的一个样本函数或轨道．样本函数的全体称为样本函数空间．理学院施三支第2章随机过程的基本概念随机过程的分类连续随机过程参数连续，状态连续离散随机过程参数连续，状态离散连续随机序列参数离散，状态连续离散随机序列参数离散，状态离散目录理学院施三支第2章随机过程的基本概念一维分布[定义]随机过程X={X(t),tT}在时刻t的一维分布函数为TF(x)P{X(t)x}t其一维概率密度函数为F(x)tf(x)tx相应的一维特征函数为iX(t)ix()E[e]f

4、(x)edxtt理学院施三支第2章随机过程的基本概念n维分布[定义]设X={X(t),tT}是随机过程，对任意n1和Tt,t,…,tT，随机过程X的n维分布函数为12nTF(x,x,,x)P{X(t)x,,X(t)x}t1,t2,,tn12n11nn其n维概率密度函数为F(x,,x)t1,,tn1nf(x,,x)t1,,tn1nxx1nnn维特征函数：t,,t(1,,n)E{exp[ikX(tk)]}1nk1f(x,,x)ei(1x1nxn)dxdxt1,,tn1n1n理学院施三支第2章随机过程的基本概念

5、n维分布函数的性质(1)对称性：对于{t1,t2,…,tn}的任意排列{ti1,ti2,,tin}，F(x,x,,x)F(x,x,,x)t1,t2,,tn12nti1,ti2,,tini1i2in(2)相容性：当m

6、本概念Kolmogorov定理设已给参数集T及满足对称性和相容性条件的分布函数族F，则必存在一概率空间(,,P)及定义在其上的随机过程{X(t),tT}，它的有限维分布函数族是F．理学院施三支第2章随机过程的基本概念全局特征与局部特征若对于任意时刻t,t,…,tT和任意n1，随机过程12nX(t)的n维分布函数或概率密度都已知，则认为该随机过程的统计描述是完全的或者具有全局统计特征．通常描述的是随机过程的局部统计特征（n为有限值），例如一维、n维联合分布函数（及相应的数字特征等）．理学院施三支第2章随机过程的基本概念两个随机过程的联合分布[定义]设{X(s),sT}和{Y(

7、t),tT}是两个随机过程，其n+m维联合分布函数为F(x,,x,y,,y)s1,,sn,t1,,tm1n1mP{X(s)x,,X(s)x;Y(t)y,,Y(t)y}11nn11mm其n+m维联合概率密度为f(x,,x,y,,y)s1,,sn,,t1,,tm1n1mF(x,,x,y,,y)s1,,sn,t1,,tm1n1mxxyy1n1m目录理学院施三支第2章随机过