2、x)dg(x)=f(x)p∫−∞∑iii⑵当g(x)存在导数g´(x)时,有+∞+∞∫f(x)dg(x)=∫f(x)g′(x)dx−∞−∞利用Stieltjes积分可以统一离散型与连续型随机变量的数学期望定义.随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林特征函数的几点说明(1)特征函数总是存在的.对任意实数u,有
3、ejux
4、=1.故E[ejux]总存在.随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林(2)特征函数的性质ⅰϕϕ（）u≤（01）=ⅱϕϕ()uu=−()ⅲ若Y=aX+b,a,b为常数,则jbuϕϕ()ue=(au)YXⅳϕ()u在（−∞+，
5、∞）上一致连续.随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林ⅴ若X与Y相互独立,Z=X+Y,则ϕ()uu=ϕϕ()()uZXY(可推广到n个相互独立随机变量)随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林ⅵ()u是非负定的.ϕ即对任意的n,任意复数Z,任意实数ukk(k=1,2,…,n),有nn∑∑ϕ()uulk−zlzk≥0lk==11随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林ⅶ设随机变量X的n阶原点矩(即E[Xn])存在,则ϕ()u存在k(k≤n)阶导数,且有()kkkϕ(0)=jkEX,≤n()kkϕ(0)⇒=EX,kn≤kj随机过程——西安电子
6、科技大学数学系冯海林(3)一些重要分布的特征函数单点分布P(X=c)=1,c常数.则juXjucϕ()uE==[e]e随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林kkn−k二项分布P(X=k)=Cpq,k=0,1,…,n.00k!则特征函数∞kλ()uE==[ejuX]ejuke−λϕ∑k=0k!∞juk()λeeeju
7、(1ju)==ee−λλ∑−−eλ=eλk=0k!随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林均匀分布r.v.X～U(a,b],密度函数为⎧1⎪,a≤x≤bf(x)=⎨b−a其它⎪⎩0,则特征函数+∞juXjuxϕ()ue==E[]∫ef(x)dx−∞b11juxjbujua==∫edx()e−eaba−−jt()ba随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林正态分布r.v.X～N(µ,σ2),密度函数为2(x−µ)1−2()=2σ,−∞<+∞,,(>0)常数fxexµσ2πσ随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林则特征函数+∞x−µjuXju
8、x令v=ϕ()ue==E[]∫ef(x)dx−∞σ22()x−µv11+∞jux−22+∞ju()v−2σµ+==∫∫eeσdxeedv−∞−∞22πσπ21(22vj−u)1221juµσ−−u+∞jµσu−u==ee22∫dve2−∞2π特别X～N(0,1)时2u−ue)2ϕ（=随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林指数分布r.v.X服从参数为λ(>0)的指数分布,概率密度为−λx⎧λe,x≥0f(x)=⎨⎩0,x<0则特征函数+∞juXjuxϕ()ue==E[]∫ef(x)dx−∞+∞+∞jux−−λλx()jux==∫∫eeλλd
9、xedx00λ=λ−ju随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林(4)随机变量的分布函数与其特征函数相互唯一确定.随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林多元特征函数设n维随机变量X=(X,X,…,X)的联合分布函数12n为F(x,x,…,x),则称12n(,uu,u)E[ej()uX11Xu++22L+unnX]ϕL=12nTjuX=E[e]+∞+∞=LLedju()11x++u2x2L+unnxF(,xx,,x)∫∫12n−∞−∞为n维随机变量X的特征函数.也称多元特征函数随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林多元特征函数具有与一元特
10、征函数类似的性质n维随机变量的特征函数与其联合分布函数是一一对应的随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林特征函数应用举例:21.设X服从参数为λ的泊松分布，求EX，EX，DXj
