第4讲 二次函数综合应用

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1、实用文案第4讲：二次函数综合应用一、建构新知1.二次函数y=ax2+bx+c=0（a≠0），a的符号由抛物线的开口方向决定，c的符合由抛物线与y轴交点的位置确定，b的符号由a及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴决定，当抛物线开口向上时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边y随x的增大而增大，对称轴右边y随x的增大而减小．此外抛物线解析式中y=0得到一元二次方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标．2.二次函数的图象及性质：对于二次函数的图象与

2、性质，关键是把握图象与二次函数各项系数之间的关系，同时观察图象与x轴，y轴交点的位置，注意二次函数值y随自变量x的变化要以对称轴为分界点.对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：（1）开口向上a>0；开口向下a<0.（2）c>0图象与y轴的正半轴有交点；c=0图象过坐标原点；c<0图象与y轴的负半轴有交点；（3）根据对称轴和a符号确定b的符号以及a、b之间的数量关系；（4）根据x=1时y的值来确定a+b+c的符号；根据x=－1时y的值来确定a－b+c的符号；x=2时y的值来确定4a+2b

3、+c的符号；根据x=－2时y的值来确定4a－2b+c的符号.（5）比较函数值的大小，应根据二次函数的对称性把两个点归纳在对称轴的同侧，然后利用函数的增减性比较大小.3.二次函数综合应用，解题的关键是联想相关函数与方程、不等式、坐标交点、图象交点分析，这是解决这类问题的思考点，数形结合思想方法是解题中常用方法.二、经典例题例1.如图，已知抛物线于x轴交于A（－1,0）、B（3,0）两点，与y轴交于点C（0,3）.（1）求抛物线的解析式.（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P

4、，使得△PDC是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.（3）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标.标准实用文案例2.如图，抛物线经过A（－1，0），B（5，0），C（0，－）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由．yxOABC

5、例3.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+2x与x轴相交于O、B，顶点为A，连接OA．（1）求点A的坐标和∠AOB的度数；（2）若将抛物线y=x2+2x向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线m，其顶点为点C．连接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′．试判断其形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，判断点C′是否在抛物线y=x2+2x上，说明理由；（4）若点P为x轴上的一个动点，试探究在抛物线m上是否存在点Q，使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四

6、边形，且OC为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．三、基础演练标准实用文案1．如图，已知二次函数的图象的顶点为.二次函数的图象与轴交于原点及另一点，它的顶点在函数的图象的对称轴上．xyO12321A（1）求点与点的坐标；（2）当四边形为菱形时，求函数的关系式．2．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－1），ΔABC的面积为．（1）求该二次函数的关系式；（2）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐

7、标；若不存在，请说明理由．3．已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B标准实用文案点左侧.点B的坐标为（1，0），OC=3OB.（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值：（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求P的坐标；若不存在，请说明理由．四、直击中考1．（2013甘肃）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a﹣b

8、＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0，错误的个数有（　　）　A．1B．2个C．3个D．4个2.（2013山东）对于抛物线y＝－（x＋1）2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为（－1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（　　）　A．1B．2C．3D．43.（2013杭州）给出下列命题及函数y=x，y=x2和y=①如果，那么0＜a＜1；②如果，那么a＞1；③如果，那么﹣1＜a＜0；④如果时