稳定性切换在一阶时滞微分方程中的应用

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1、第26卷第6期大学数学Vo1．26，№．6201O年12月COLLEGEMATHEMATICSDec．2010稳定性切换在一阶时滞微分方程中的应用狄成宽(南京工程学院应用数学研究所，江苏南京211167)[摘要]介绍了时滞动力系统中的对零解稳定性讨论的稳定性切换法，并应用此方法对时滞动力系统中的三个一阶时滞微分方程基本定理给予证明．同时表明了在局部稳定性分析中，该方法有着更大的优势．[关键词]稳定性切换；时滞动力系统；渐近稳定[中图分类号]O175[文献标识码]A[文章编号]1672—1454(2010)06

2、—0112—061引言时滞现象在自然界中广泛存在，由于时滞微分方程的解空间是无穷维，因此对时滞微分方程精确求解几乎不可能．象常微分方程的稳定性讨论一样，对于时滞动力系统，我们主要是考虑其平衡点的稳定性问题．滞后型时滞微分方程的零解渐近稳定的充要条件是其特征方程的所有特征根的实部都小于零[1]．而时滞微分方程的特征方程是一个超越方程，其根有无穷多个，所以其零解是否稳定很难判断；稳定性切换原理在时滞系统的稳定性分析中应用广泛_2]，尤其在滞后型时滞微分方程中．由于系统参数的不确定，文E8中对时滞系统稳定性的讨论大

3、体是采用定性的方法，本文将探讨引入稳定性切换原理的方法，对该文中的三个定理给以证明，同时利用该原理进一步讨论其它参数对稳定性的影响．2稳定性切换原理由于时滞微分方程的复杂性，人们一直在探讨更为简便的方法．时滞系统的稳定性通常可由Lyapunov函微(泛函)法和特征根分析法来研究．Lyapunov方法适用范围广，但所得结论强烈依赖于不等式估计技巧．特征根法主要用于分析平衡点的局部稳定性，可以得到比较精细的结论．如果系统含有参数，利用稳定性切换的思想可以很方便地讨论平衡点的稳定性¨2]．这种方法首先由Cooke和

4、Grossman在文E5]中研究方程P()+Q()exp(-Ar)一0的根的分布时提出来的，其基本思路是：首先讨论当r一0时，多项式PG)+Q()的根的分布，然后考查随着时滞的增加，特征根实部的变化．在文E6]中已证明了：对一个滞后型时滞微分方程，其特征方程的特征根对时滞r是连续的，若要稳定性发生改变，必须有特征根穿越虚轴．所以稳定性切换方法的步骤主要有两个：一是判断P()+Q()的根是否都具有负实部；二是求出临界时滞的值，进而由特征根的实部在临界点处的变化率就可判断零解在不同时滞区间段的稳定性．对于解—z+

5、i(-z，y为实数)，因为看作r的函数，所以的实部和虚部也都是r的函数．当，j、、通过虚轴，即一0ftt,，若Ref1>0~-,j-，则的实部是r的递增函数．因此是从左向右穿越虚轴．再根、uZ-／据连续性可知，随着r的递增，方程将增加一对正实部的特征根，即的实部由负到零再变为大于零．同[收稿日期]2008—05—06第6期狄成宽：稳定性切换在一阶时滞微分方程中的应用113理，当Re()

6、方程在虚轴上的特征根—iw，然后由该点对r导数的正负来判别特征根的变化方向，根据变换方向即可知道特征根将分布在虚轴的左半平面或是右半平面．若分部在左半面，即特征根的实部都小于零，则零解渐近稳定；若有正实部的特征根，则零解不稳定．这就是稳定性切换法的实质．3一阶时滞微分方程三个定理的证明下面对文Eli中一阶时滞微分方程的三个稳定性定理利用稳定性切换原理给予证明，对于如下形式的方程主()一口z(￡)+6z(￡一r)，(1)文l-1]中有如下结论：定理1对于时滞微分方程(时滞r为常数)主()一ax(t)+6(一r)

7、，若a，b满足于条件a+6<0，则必存在一正数A=A(a，6)>0，使得当r满足于条件：0

8、exp(-At)，得dD—l+6rexp(一r)一o．结合方程(2)，可得—a一．与一矛盾．显然D()一—a一6exp(-At)是和r的解析函数．方程(2)的解—(r)是可微函数，方程(2)两边对r求导，得一一盟drbr+exp(r)’另一方面，把—ico代入(2)式，得下式i一口-bexp(-A,or)一0．因而有-a-bcosc．or~0，+bsin,or=0．(3)由(3)式可得b。一。+口，