数列极限在实际中的应用_李海英

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1、研究与开发文章编号：1007-1423（2013）25-0024-03DOI：10.3969/j.issn.1007-1423.2013.25.006数列极限在实际中的应用李海英，赵建英（内蒙古商贸职业学院社科基础部，呼和浩特010022）摘要：数列极限是一类重要的极限，在经济和数学领域中发挥着重要的作用。以举例的方式介绍数列极限在现实生活中的应用，包括几何中计算曲线所围图形的面积，求二次方程的数值解，购房按揭贷款分期还款问题，及连续复利问题。关键词：面积；数值解；分期还款；连续复利1问题的提出第一天剩下1，第二天剩下1，第三天剩下1，23222数列极限的概念是由

2、求解某些实际问题的精确值1…，第n天剩下，依次可得数列：而产生的。公元三世纪，我国古代数学家刘徽在计算n2圆周率时给出了一种方法———割圆术，即利用圆的内1111，，，…，，…23n2222接正多边形的面积来推算圆面积的方法，这是举世公1认的运用极限思想处理数学问题的经典之作。不难看出，当无限增大时，数列的通项无限接n2关于割圆术，其方法是这样的：对于一个给定的近于零。圆，其面积是一个确定的常数，如何求出该圆的面积A到了十七世纪后，牛顿和莱布尼茨两人分别从力呢？首先在圆内作内接正六边形，算出其面积并记为学和几何学的角度入手，用还不严密的极限方法各自A1，再作圆内接

3、正十二边形，算出其面积并记为A2，依独立地建立了微积分学，最后柯西和维尔斯特拉斯完次做下去，一般地把圆内接正6×2n-1边形的面积记为善了极限的概念。在解决类似的实际问题中逐步地引An（n=1，2，…)，这样就得到一个圆内接正多边形面积的出了数列极限。我们知道极限是数学分析的基石，是微数列:积分学的基础，掌握数列极限的概念、性质和计算是学A1，A2，…，An，…好函数极限和微积分的前提和基础，灵活巧妙地应用随着n的无限增大，圆内接正多边形的面积An无它，也可以使一些较为困难的实际问题迎刃而解。限接近于圆的面积A。这正如刘徽所说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至

4、于不可割，则与圆合体而无所2数列极限在现实生活中的应用失矣”。数列极限在实际中的应用非常广泛，下面将以举战国时代哲学家庄周所著《庄子·天下篇》中引用例的方式介绍数列极限在生活中的应用。过一句话:“一尺之棰，万世不竭”，也就是说，一根一尺2.1几何应用——计算面积的棒，每天截去一半，这样的过程可以无止境地进行下2例1求抛物线x=y与两直线y=0和x=1所围图去，把每天截后剩下部分的长度记录为（单位为尺）：收稿日期：2013-07－30修稿日期：2013-08－07作者简介：李海英（1968-），女，内蒙古呼和浩特人，硕士，研究方向为数学教育教学趥趲现代计算机2013

5、.09上研究与开发形的面积。似值，因此x0>x0-姨a>0。由此得出：1解先将区间［0，1］等分为n个小区间［0，n］，0≤x1-姨a=1（x0－姨a）x0－姨a≤1（x0－姨a）2x0212n－1［，］，…，［，1］，以这些小区间为底边，分别以nnn这个不等式告诉我们：第一次近似值x1到姨a的22212n－1距离至多是初值x0到姨a距离的一半。重复施行上述0，++，++，…，++为高，作n个小矩形。这nnnn步骤，可得数列x0，x1，…，xn，…，其中：个小矩形的面积加在一起作为图形面积S的近似值，1axn＝（xn－1＋），n∈N*（1）即：2xn－1n2nn-

6、111S＝A=Σ+i－1+·1＝1Σ（i-1）2=1Σi2=1由0≤xn-姨a≤（xn－1-姨a）≤2（xn－2-姨a）nnnn3n3n322i=1i=1i=1（n－1）n（2n－1）=1-1+1-1+632n3n≤…≤1（x0－姨a），可见limxn=姨a。对于充分大的n2n→∞这样我们就定义了一个数列｛An｝，对每个An而n，数xn与姨a的距离要多小有多小。言，都小于欲求的“面积”，但是这两者之间的差别不会下面解决开始提出的问题，即求姨3的近似值。11大于长为1，宽为n的矩形面积，即n，所以，将区间取初值x0＝2（这是相当粗糙的近似值），由（1）式反复迭代的结

7、果是：［0，1］无限细分，即当n→∞时，An→S，因此，我们将计算图形的面积归结为求数列极限的问题，即：x0＝2，x1＝1.75，x2＝1.732142…，x3＝1.7320508…，x4＝11.732050807569…，…S＝limAn=n→∞3这已是相当精确的近似值。利用此方法，我们可以这种求由曲线所围图形面积的方法既简单又朴求任意类似于姨3的无理数的近似值，或者求二次方素，同时也体现了数列极限的重要性。程x2-a=0（a>0）的“数值解”。2.2求方程的数值解2.3购房按揭贷款分期还款众所周知，姨3是无理数，那么如何用有理数来逼消费贷款的还款（即按揭）大多

8、为年金方式