不动点在求迭代数列极限中的应用

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1、第22卷第3期上海工程技术大学学报VoI．22No．32008年9月JOURNALOFSHANGHAIUNIVERSITYOFENGINEERINGSCIENCESept2008文章编号：1009—444X(2008)03026503不动点在求迭代数列极限中的应用肖翔，许伯生(上海工程技术大学基础教学学院，上海201620)摘要：介绍不动点在求迭代数列极限过程中的应用。给出了两种求迭代数列极限的方法。一种是利用不动点定理，构造相应的迭代函数并证明其不动点唯一存在，则该不动点就是所求迭代数列的极限；另一种是在某种特定的迭代形式下，用不动点表示所求迭代数列的通项，进而判断并求出

2、极限。关键词：不动点；不动点定理；迭代数列中图分类号：O177文献标志码：AApplicationofFixedPointTheoreminIterativeSequenceLimitXIAOXiang，XUBo—sheng(CollegeofFundamentalStudies，ShanghaiUniversityofEngineeringScience，Shanghai201620，China)Abstract~Iterativesequencelimitwasobtainedbytwomethodsapplyingfixedpointtheorem．Onewas，to

3、builduprelevantiterativefunctionandprovethesoleexistenceofitsfixedpoint．Thereafter，thefixedpointwasthelimitofiterativesequence．Theotherwas，undersomeiterationform，tojudgeandfigureoutthelimitbyusingfixedpointtostandforgeneraltermofiterativesequence．Keywords：fixedpoint；fixedpointtheorem；itera

4、tivesequence不动点是泛函分析中的重要概念，特别是不动点定理在泛函分析中有着十分广泛的应用，例如，主要结论及其证明用它可以十分简单的证明隐函数的存在定理_lJ，微分方程解的存在定理_2J和积分方程解的存在定定义1设f()在[a，6]上有定义，则称方理_3l。本文的主要结论有两个：第一，给出用不动程厂(z)=在[a，b]上的解为f()在[a，6]上的不动点。点定理求迭代数列极限的方法，这种方法的使用不定义2若存在一个常数k，且0≤k<1，使但体现了该定理在数学分析中的应用，而且也为学得任意z，Y∈[a，b]，有I厂()一f(Y)I≤k习泛函分析起了良好的铺垫作用；第

5、二，在特殊的f—f成立，则称f()是[a，b]上的一个压缩映迭代形式下，用不动点构造出新的数列的通项，从照。而推导出迭代数列的通项，进而判断所求数列的极引理1设厂()是[a，b]上的一个压缩映限是否存在。收稿日期：2008—05—25作者简介：肖翔(1980一)，男，江西樟树人，讲师，硕士，研究方向为泛函分析上海工程技术大学学报第22卷照，则()是[，b]上的连续函数。([n，b])(二=[“，b]，则对于任意的”∈N，有，∈定理1设(32)是[＆，b]上的一个压缩映[a，b]。照，且=／(1)，N=l，2，3⋯，0C-[d，b]，若侈01[设数歹4l=、，乏，z2=~／2

6、+√芝，⋯，对于任意的∈N，有,27∈[a，b]，则．，’()在[a，z，+l=~／2+．32证明数列{}收敛并求极限。b]上存在唯一的不动点C，且lira=c。解根据迭代数列=、／／2+构造函数证明首先证明{}收敛。，’()=~／，其中∈[0，2]，因为厂()在[0，若是=0，显然{}收敛；．2]上单调递增，则f([0，2])(==[0，2]。若是≠0，对于任意的￡>0，取又因为=ln【I厶v厶’Il≤

7、m=lim、／=^／__iI11即c=、尼，2一+2≤⋯≤得c=2足“2C0一．YC≤是(b一＆)