不动点理论在数列中的应用

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1、不动点理论在数列中的应用四川省宜宾市南溪第一中学校潘昌明摘要：理解度量空间下的不动点原理，同时研究其在递推数列中的应用，获得数学思维的提升，展望高考压轴题新方向。关键字：不动点原理；连续函数；递推数列；通项公式；不等式。FixedpointtheoryinthesequenceofapplicationAbstract:Understandmetricspaceunderthefixedpointprinciple,andstudyitsapplicationinrecursionsequence,thepromotionprospects,mathematicalthinkingprob

2、lemnewdirectionlaunchsentrance.Keywords:Fixedpointprinciple;Continuousfunction;Recursionsequence;Thegeneralformula;Inequality.1预备知识1.1定义　设是度量空间，是到的映射，若存在数，使得对所有，成立　　　　　　　　，（表示实数直线上任何两点之间的距离）则称是压缩映射。压缩映射从几何角度来说，就是点和经映射后，它们的像的距离缩短了，不超过的倍。1.2定理及其证明定理1设是完备的度量空间，是上的压缩映射，那么在内必，使得。第14页（共13页）证明：设是中的任意一点，令

3、，，，…..以下证明点列是中的柯西点列事实上，而由三点不等式知，当时，　　　　　故：所以当时，即是中的柯西点列由的完备性，则使得则：当时，上式右端趋于0，故，即故：，使得.　从以上的证明可以看出，由于映射下的点列是柯西点列，而柯西点列是收敛的数列，所以不论怎么变化，始终，使得成立。于是就有下面的２问题的提出定义：方程的根称为函数的不动点。设，其中是的一个区间，数列满足，，若是连续的且收敛于，则第14页（共13页）这样数列的收敛问题就和函数的不动点紧密联系起来。然而数列可以看作是定义在自然数集合上的特殊函数，则可借助于递推数列的不动点将某些递推关系式所确定的数列化为熟知的等差、等比或降为阶数

4、较低的递推数列。３递推数列的通项公式３.１一阶线性递推数列设一阶线性递推数列由递归方程给出当时，　　　　　　　　　　　　　　　　（1）若首项，则（１）等价于以为首项，为公比的等比数列。当时，　　　　　　　　　　　　　　　（2）设，则（2）由递推数列，只需把（2）转化为（1）的情形设得：（为待定系数），即为要使满足（1），故：，则即是函数的不动点。于是有定理２　若是函数的不动点，则一阶递推数列（2）等价于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3）由定理２易知（2）所确定的数列的通项公式为例１：已知数列满足，，，求的通项公式。解：由得：第14页（共13页），设，则而函数的不动点为１，则故：，

5、则所以３.２二阶递推数列3.2.1二阶线性递推数列设二阶线性递推数列由递归方程：　　（４）给出，为求（４）所确定数列的通项，借助于一阶线性递推数列的结论，为此令，并将其代入（４）：要把变成（２）的形式，即只需，故：若，则为的根，于是有定理３　若是＝０的根，则二阶线性递推数列等价于一阶递推数列　　　　　　　　　　　（５）由上述定理，一般可将阶线性递推数列降为阶递推数列，再应用定理２就可以确定出通项公式。特别地，当（４）中的时，（４）所对应的线性递推数列为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（６）第14页（共13页）下面分两种情况讨论（６）的通项公式：①当有两个不等根时，由定理３可知，即则　

6、　　　　　　　　　　　　　　　　（７）则　　　　　　　　　　　　　　　　　（８）由（７），（８）两式得：　　　　　　　　　　　　　　（９）因此若数列给出了首项并且在确定的情况下，只需设然后根据联立二元一次方程组解出即可。（２）当有两个相等根时，设把（９）式改写为而，则例２：求Ｆibonacci数列,的通项公式。解：由于Ｆibonacci数列是二阶线性递推数列，设，则的两根为则设故：，则所以第14页（共13页）例３：已知数列满足，，求的通项公式。解：设则的两根为由定理3可知，令，则再设，则的不动点为.即则故：而也适合上式，则3.2.2二阶非线性递推数列设二阶非线性递推数列满足，首项为，且（１

7、０）为求（１０）所确定的数列的通项，令则故：　　　　　若令，则有，即第14页（共13页）故：函数有两个不动点而，则则称是函数的“最小不动点”，于是就有.定理４若数列数列满足，首项为，，且是函数的“最小不动点”，则数列的通项可转化为由求出。例４：已知数列满足，，，求数列的通项公式。解：设函数则由得：是函数的“最小不动点”故：令，易知，则所以：再设：，则其不动点为故：３.３分式递推数列3.3.1分式线性递推数列由递归方程