泛函分析中不动点理论及其应用

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1、目录内容摘要……………………………………………………………………1关键词……………………………………………………………………1Abstract……………………………………………………………………1KeyWords…………………………………………………………………11．引言………………………………………………………………………12．不动点定义及定理介绍……………………………………………………22.1不动点相关定义………………………………………………………22.2不动点思想……………………………………………………………22.3不动点相关定

2、理………………………………………………………63．不动点思想在其他学科的应用……………………………………………83.1在求数列通项公式中的应用………………………………………83.2在求方程解中的应用………………………………………………113.3在求函数解析式中的应用…………………………………………124．不动点定理在证明中的应用……………………………………………144.1应用不动点定理证明数列极限……………………………………144.2应用不动点定理证明隐函数定理…………………………………154.3应用不动点定理证明微分方程解的存在性定

3、理…………………174.4应用不动点定理证明积分方程解的存在性定理…………………174.5不动点定理在图论中的证明………………………………………14参考文献…………………………………………………………………18致谢………………………………………………………………………19内容摘要：本文简要介绍了不动点思想及相关定理，对Banach不动点定理做了一些简单的推论，应用不动点思想解决数列通项公式、方程的解、函数的解析式等问题。并对隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理做出了证明。关键词：不动点不动点思想不动点定理应用Ab

4、stract：Keywords：1．引言泛函分析是本世纪出才逐渐形成的一个新的数学分支，以其高度的统一性和广泛的应用性，在现代数学领域占有重要的地位。在泛函分析中。许多分散在各个数学分支中的事实都得到了统一的处理，例如隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理，在泛函分析中都归结为一个定理——不动点定理。这正是抽象的结果。不动点定理实际上是算子方程的求解问题，是分析学的各个分支中存在和唯一性定理的重要基础，它是关于具体问题解的存在唯一性的定理，其中Banach不动点定理，亦称压缩映射原理，它提供了线性方程解的最佳逼近程

5、序，给出了近似解的构造，在常微分方程、积分方程等领域中也有着广泛的应用，在现代数学发展中有着重要的地位和作用。2．不动点相关定义及定理介绍2.1不动点相关定义定义1设为非空集合，是一个映射，如果使得成立，则称为映射的一个不动点。特别地，函数是定义在上的函数，如果使得成立，则称为函数的一个不动点。定义2设是距离空间，是到其自身的映射，且对于任意的，不等式都成立，其中是满足的常数。则称是上的压缩映射。2.2不动点思想首先，对于函数的不动点，有两个方面的理解：1）的不动点，是方程的根。2）的不动点，是函数与的交点。有了这两个方面的理解，很显

6、然，可以用不动点思想来求方程的根和函数的交点。其次，由于无论迭代多少次，总是本身，所以不动点思想可以在函数迭代及数列中有广泛的应用。2.3不动点相关定理定理1设为完备的距离空间，是上的压缩映射，则在中存在唯一的不动点，即存在唯一的，使得。并且该不动点可以用迭代法求得。有时候映射不能满足定理1的条件，故不能应用它，因此有必要将定理加以拓广，由此得到定理2。定理2设为完备的距离空间，是到其自身的映射，如果存在常数以及自然是使得对于任意的，成立，那么在中存在唯一的不动点。为使用的方便，由上述定理1的证明过程，容易得到下面的定理3。定理3若数

7、列满足条件则一定存在极限。在定理1中取,为中常见距离，则又可以得到下述定理4。定理4若函数是定义在上的函数，若使得，那么函数在中存在唯一不动点。若满足更强的条件，在是可导，则由微分中值定理，可得定理5。定理5若函数是定义在上的可导函数，且满足，其中，则函数在中存在唯一不动点。将此结论应用到数列中，有可得到下述的定理。定理6设函数可导且满足，定义数列，那么一定存在极限。有了上述一系列的定理，我们可以应用它们解决很多问题。3．不动点思想在其他学科的应用3.1在数列通项公式中的应用命题1若函数，为的不动点，满足则是以为公比的等比数列。命题2

8、若函数，数列满足则有：（1）若有两个不动点，则数列是等比数列。（2）若只有一个不动点，则数列是等差数列。证明（1）是的不动点，则分别满足，于是故数列是等比数列。（2）是的唯一不动点，那么满足且。于是故列是等差数列。例1.