泛函分析题15凸集与不动点答案

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1、泛函分析题1_5凸集与不动点p521.5」设X是戌空间，E是以砒内点的真凸子集，P是由E产生的Minkowski泛函，求证：(1)int(£)oP(x)<1；(2)cl(int(£))=cl(E)・证明：(l)(n)若xgint(E),存在/>0,使得B§(x)uE.注意到兀+兀(htoo),故存在Ww.••+,使得x+x/NeB§(x)uE・即x/(N/(1+N))g£・Hll-tP(x)1,使得y=gE・因6feint(E),故存在5>0,使得⑹uE・令〃=-l)/d,X/zwB〃(X),令

2、w=(az-y)/(a-1),则

3、

4、w

5、

6、=

7、

8、(gz-y)/(g-1)

9、

10、=

11、

12、az-y\/(a-1)=\az-ax\/(ci一l)=a\z-x\/(a-1)<-1)=6.故cE.故z=((a-l)vv+y)/ogE,因此，cE.所以xeint(£)・(2)因int⑹=E,故Wcl(int(£))ccl(£).下面证明相反的包含关系.若兀wcl(E),则0£>0,存在严E,使得

13、x-y\<^2.因ny/(n+l)Ty(〃Tg)・故存在Nw.••+,使得

14、

15、Ny/(N+l)-y

16、

17、<02.令z=Wy/(N+l),则zwE,liP(z

18、)SN/(7V+1)v1,由⑴知zgint(£)・而

19、

20、z-兀

21、

22、W

23、

24、z-y

25、

26、+

27、

28、y-兀

29、

30、<02+02=E.故xecl(int(E)),因此cl(£)ocl(int(£))所以cl(int(E))=cl(E)・1.5.2求证在B空间中，列紧集的凸包是列紧集.证明：设A是B空间X屮的列紧集，/£>0,存在4的有限£73网B.设B=佝,仇,A/=maxy{\bj\},取5>0,使得n6M<£/3・设［0,1］分划D为0=%v勿v血v・・・v绻=1，使得maxi

31、tj-Z/_i

32、}<3.设X/xgco（A）,设x=Qia〕+/1

33、2。2+…+九5，其中a0A,Aj>0,Ey/i；=1.对每个j

34、

35、aj-加川

36、<£/3；令y=Qi伤⑴+久2伤（2）+…+九伤伙）'贝Wl兀_『II=

37、

38、入⑷一伤⑴）+久2（。2-伤（2））+…+加（似一伤伙））

39、

40、,5入•

41、

42、Cl-伤（1）

43、

44、+久2•

45、

46、。2-伤（2）

47、

48、+...+

49、

50、似一伤伙）

51、

52、S（2］+兄2+…+九）•/2）=£/3・将y=入/刀⑴+22加2）+…+加伤伙）屮的那些含有相同hj的项合并起来，于是，y可妾示为枷+〃2方2+…+“讥和其中/^>0,且乙刈=1・对每个ZS,存在g（/）gD,使得

53、

54、

55、///-"）

56、

57、<5；令z=/$(1)伪+如2)仇+...+/附)仇，则Hy_zII=II(A】一如1))〃1+(“2-15(2))&2+••・+(//"-心(”))bn

58、

59、

60、Az-^5(/)1•max/{IIbj

61、

62、}

63、集都列紧.而T(C)cC,故八C)列紧.于是，由Schauder不动点定理，T在C上有一个不动点.［Schauder定理:空间中闭凸集C上使T(C)列紧的连续自映射T必有不动点］1.5.4设C是B空间X中的一个有界闭凸集，映射7}:CtX(,=1,2)适合(1)Vx,yeC=>T］X+T2ygC；(2)Ti是一个压缩映射，T2是一个紧映射.求证：乃+鸟在C上至少有一个不动点.证明：［邸双亮老师解］设压缩映射门的压缩系数为底(0,1).X/ywC,映射Kv:CtC,x#T}x+T2y是压缩映射，因此Ky有唯一不动点uyeC(即绚满足Uy=TUy+

64、T2y).故可定义映射U:CtC,y#®考察映射I-7:CtX,x#x-TiX9则Vx,)wC,

65、

66、(/-T1)x-(Z-T1)y

67、

68、=

69、

70、(x-y)-(Tix-Tiy)

71、

72、ll-llTxx-T}y\>\x-y\-a\x-y\=(l-a)\x-y\；故/—石为单射.因此存在逆映射(I-Tx:(/-Ti)(QTC.而不等式

73、

74、(/-Ti)x-(Z-Ti)y

75、

76、>(l-6r)

77、

78、x-y

79、

80、^明，(/-乃尸还是连续的.因0ywC,U(y)=uyeC满足U(y)=T{(〃(刃)+Ey,即(/一0)(7©)=T2y；故U(y)=(I-T}y

81、iT2yf即17=(/_石尸。鸟・因门紧且(/-们尸连续，故U=(I_Tj5是紧映射.由Schauder不动点定理，有不动点.即存在xC