泛函分析题目.doc

《泛函分析题目.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、川大2011年泛函分析模拟试题一、叙述题1、在度量空间中，列紧集、完全有界集的定义及二者之间的关系列紧集：设是度量空间的一个子集，若在中有一个收敛子列，则称为列紧集；完全有界集：是度量空间的一个子集，，都存在的一个有穷网，则称为完全有界集。关系：列紧集一定是完全有界集，完全有界集不一定是列紧集：但在完备的度量空间中，列紧集与完全有界集等价（即）2、在欧式空间中，有界集、完全有界集和列紧集三者之间的关系；紧集与有界闭集的关系在欧式空间中，有界集完全有界集列紧集，紧集有界闭集二、证明题：1、线性算子在上连续在上有界。证充分性：因为在上有界，故，即，故在

2、点连续，从而在上连续；必要性：若在无界，令，则，即。又因为连续，故，这与矛盾，故假设不成立，即在上有界。2、求证为空间。（其中为空间，为空间）证显然是一个线性空间，兹证是范数：；42011年6月29日整理；。再证完备性。设为基本列，由，有，有，说明为中的基本列，而为空间，记。我们要证，不难看出是线性的，再证其有界。事实上，使得即得。1、Hilbert空间中的正交投影算子为线性有界算子。证设闭线性子空间，依正交分解定理，，存在唯一的分解，使得。记称为正交投影算子。①是线性算子令则②有界性有；由①和②知，是有界的线性算子。一、S是由一切序列组成的集合，

3、在S中定义距离为，求证S是一个完备的距离空间。证先证S是距离空间：42011年6月29日整理当且仅当；即S是一个以为距离的距离空间,记作；再证距离空间是完备的：取基本列若(当),则(当).于是存在.因此,,取,使得,再取,使当时有,便得到42011年6月29日整理其中.于是S是一个完备的距离空间。一、附加题开映射定理()设都是空间，若是一个满射，则是开映射。Hahn—Banach延拓定理()设是空间，是的线性子空间，是定义在上的有界线性泛函，则在上必有有界线性泛函满足：其中表示在上的范数。闭图像定理()设都是空间，若是的闭线性算子，并且是闭的，则是

4、连续的。共鸣定理()设是空间，是空间，如果，那么存在常数，使得。42011年6月29日整理