泛函分析题目集

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1、泛函分析题目集泛函分析复习题%1.选择题：1.设｛e^e^^en,?｝是希尔伯特空间H上的一组规范正交系，则下列论断未必正确的是（）A.｛el,e2z?,en,?｝线性无关;B.对任何的x?H,都有?

2、（x,en）

3、2?xn?l?2；N?N?NC.任意两组数al?a2,?,aN,bl,b2,?zbN都有??anen,?bnen???anbn；n?l?n?l?n?lD.ei,ej?????G?j,ij?l,23?。?O,i?jp2.下列关于L空间（p?l且p?2）的论述不正确的是（）A.L空间是一个赋范线性空间；

4、B.L空间是完备的；C.L空间是距离空间；D.L空间是希尔伯特空间。3.下列关于L空间的论述不止确的是（）A.L空间是一个赋范线性空间；A.L空间不一定完备的；B.L空间是内积空间;C.L空间是可分的。4•设X为一个实赋范线性空间，？为他上面的范数，则下曲不正确的是（）A.对任何x?X,都有x?0,B.对任何x?X,a?R都有ax?

5、a

6、x,22222ppppC.对任何x?X,y?X,都有x2?y2?x?y,2D.对任何x?X,y?X,都有x?y?x?yo5.设X为一个距离空间，下面不正确的是（）A.X和空集?

7、都是开集；B.任意多个开集的并还是开集；C.任意多个开集的交也是开集；D.有限多个开集的交也是开集。6.设X为一个距离空间，下面不正确的是（）A.X和空集?都是闭集；B.任意多个闭集的并还是闭集;C.任意多个闭集的交也是闭集;D.有限多个闭集的并也是闭集。7.下曲论述正确的是（）A.紧集不一定是有界的。B.紧集的子集一定是紧集。A.任一距离空间中的紧集本身是一个完备的距离空间。B.连续映射有可能将紧集映成非紧集。5.下面为不可分距离空间的是()?pA・L[a,b]B.L[a,b](l?p??)C.C[a?b]D

8、.Rn6.设R为实数域，l?p?p'??,那么下面正确的是()A.L(R)?L(R)B.L(R)?L(R)C.L(R)?L(R)D.L(R)与L(R)Z间没有相互包含关系。7.设[a,b]?R为有界闭区间,l?p?p'??,那么下面正确的是()A.L[a,b]?L[a,b]B.L[a,b]?L[a,b]C.L[a,b]?L[a,b]D.L[a,b]与L[a,b]之间没有相互包含关系。？PPP'pp'p'p?ppp'pp'p'p%1.判断题：1•任何

9、紧集都是有界的。()1.紧集的子集还是紧集。()2.希尔伯特空间不一定是巴拿赫空间。()3.实的可分希尔伯特空间一定与实的I空间同构。()4.可分希尔伯特空间中的规范正交系中向量最多可数个。()5.设[比b]为实数域上的闭区间,那么C[a,b]在Lp[a”b](l?p??)中稠密。()6.设[a,b]为实数域上的闭区间，P[a,b]为[a,b]区间上的所有多项式函数的集合，那么2P[a?b]在Lp[a,b](l?p??)中不稠密。()1.设[a,b]为实数域上的闭区间，P[a,b]为⑻b]区间上的所有多项式函数

10、的集合，那么P[a,b]在C[a,b]中稠密。()2.同一个线性空间可以赋予不同的范数，但是这些不同的范数一定是等价的。()3.R可以赋予不同的范数，但是这些不同的范数一定是等价的。()%1.概念题：1.什么是距离空间？举两个距离空间的例子。2.什么是赋范线性空间和巴拿赫空间？举两个巴拿赫空间的例子。3.什么是距离空间中的准紧集和紧集？4.什么是内积空间和希尔伯特空间？举两个希尔伯特空间的例子。5.内积空间的规范正交系的定义什么？6.写出L(p?l)空间中范数的定义。7.什么是赫尔德不等式？8.什么是距离空间的

11、可分性？%1.计算或证明题：1.设H是一个希尔伯特空间，M为H的一个子集。证明M是H的一个闭子空间。(下册P98)12.设f?L(??,??),证明f的傅里叶变换是有界连续函数。(上册P251)?np3.设(X,?)为一个距离空间。试证：(1)若X中点列｛xn｝收敛于x,则任何子列｛xnk｝也收敛于X。(2)若X中点列｛xn｝为一个Cauchy列，并且存在一个子列｛xnk｝收敛，极限为x,则(下册P12)｛xn｝也收敛，极限也为X。3.设(X,?)为一个距离空间,xO?X为任一给定的点,则f(x)??(x,x0

12、)是X到R的连续映射。（下册P20）4.设H为一个希尔伯特空间，其上的内积为亿?）。试证:对于x?H,y?H,（x,y）是关于x,y的连续函数。（下册P89）5.试在C[a,b]±定义一个范数（给出证明），使其成为一个巴拿赫空间（给出证明）。（下册P75,P77）6.设H为一个希尔伯特空间，x,y?H,证明：x?y的充分必要条件是对任何的数a,有x?ay?Xo（下册P123习题23）7