不动点与其在几何与数列中的应用

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1、不动点与其在几何与数列中的应用一・摘要在近代数学中不动点在不同方面的应用十分广泛，最常见的应用在于递归数列求解其通项公式。当然，在几何、函数、拓扑学中不动点都有其惊人的魅力。恰如，布劳威尔（Brouwer）不动点定理是拓扑学里一个非常重要的定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。布劳威尔不动点定理最简单的形式是对一个从某个圆盘D射到它自身的函数f。而更为广义的定理则对于所有的从某个欧几里得空间的凸紧子集射到它自身的函数都成立。而对于不动点的定义是：一般的，设/（兀）的定义域为若存在x^eD,使/（兀兀。成立，则称兀。为/（无）的不动点，或称（％兀0）

2、为几力图像的不动点。在高考中，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，寻找与递推关系对应的函数的“不动点”往往是一种较为简便直接的方法，因此本文对不动点研究进行了归纳总结与衍生，从而使得其形成较为系统化的知识体系。二.关键词不动点几何数列三.正文（1）・不动点与几何三维图形学中人致分为三种，平移变换（Translation）,缩放变换（Scaling）,旋转变换（Rotation）o在几何变换屮，不动点经常被大家忽略，而事实上在三维图形学中，缩放变换及旋转变换都需要这个不动点。例如，将一条直尺放置，将其等比例缩放后的直尺置于其上并不超过其边界。如图1:通过感觉

3、，我们能知道存在且仅存在一个点使得其变化前后位置不变。当然，不仅仅是线段由此特点，一定的儿何图形也可以通过此來证明。如图将一个几何图形经过缩放后完全放置在其上方，理论上也仅存在这样一个点使得变化前后位置不变。证明如下:延长A'C'交AC于M,延长C'D'交BD与N,做圆M'M、圆CC'N,因为ZMCD=ZMC'N=90°所以CMC'D四点共圆，两圆的交点为点M、点0在矩形A'B'C'D'屮的交点即不动点证明：连接OA,OB,OA',OB'因为ZMA0二ZMA'O,ZACD二ZA'C'D',ZNC0二NC'O所以ZAC0二ZA'C'O所以AACO=AA'C'O在几何图

4、形中理解不动点的思想，甚至熟练运用不动点是我们理解几何的一块重要内容。例如求几何图形最大值(2)・不动点与数列〜+]:对于Aan+B盒+C的递推式，两端减X后得到(4—x)ci+(B—Cx)A—xB—Cx°-'~X=an+C、+C(“”+—)B—Cx—x—_为了能构成等比数列，则令A-x,这个方程与在递推式中令5+

5、=色得的方程是一样的，冇点类似于令f（x）=x形式，所以称这种方法为不动点法得到x的值,碍+i于是原式为-X=A-xd”+C（鑫一兀）若x有两个不等根xl,x2（包括虚数根）则分别代入后得%"庶(…)色+1_兀1二两式相除得％厂兀2A-xan一xA-

6、x2an一x2构造等比数列色一兀2即可若得到的是等根x,则不能按上述构造等比数列12只能考虑等差数列求得一“乙一兀人+C构造等差数列即可参考文献[1]邓震•不动点北京气象出版社・2003年