不动点与数列不等式问题

《不动点与数列不等式问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、实用标准4不动点与数列不等式问题在历届高考试题中，求数列的通项或证明数列不等式的内容，占有一定的篇幅．在文献[12]中研究探讨了高考题中涉及到递推数列的一类不等式问题，把近几年高考数学中出现的这类试题概括在下列两个命题中：命题2[12]设在上连续，在上可导，且，，．数列满足，，，则，命题3[12]设在上连续，在上可导，且，，．数列满足，，，则，利用上述两个命题，把2005年江西卷、2006年陕西卷、2006年湖南卷、1986年全国卷、2007年广东卷以及文献[13-15]中等诸多同类试题或例题进行了统一处理，这些试题往往与递推函数的不动点相关联．事实上，还有一种类型的递推数列不等式问题，它

2、涉及到两个递推数列，联系它们的是迭代函数具有公共的不动点，上面命题2或命题3就显得无能为力了．下面我们以2007年全国高考数学（理科）第22题为例，结合不动点思想，用三种方法给出它的另解，以揭示这类问题的一些处理方法．例8(2007年全国高考理科卷第22题)已知数列中，，，（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若数列中，，证明：，精彩文档实用标准参考答案中求出了的通项公式，然后用数学归纳法证明了不等式，本题中第（Ⅰ）部分较为简单，难点是第（Ⅱ）部分中关于不等式的证明，参考答案中用数学归纳法先后证明了不等式与，其中不等式容易证明，但要进一步得到却比较困难．下面将利用不动点思想，给出三种不同于参考答案的方

3、法．解法1（Ⅰ）（略）；（Ⅱ）考虑的迭代函数，．易知满足，，由于，注意到，则由，即，即，…，用归纳法易证，设，则，，欲证，只需证明，为此考虑的迭代函数，由于，而，故．记，，下面用数学归纳法证明，当时成立，假设，则，又由，即，于是，即得，结论得证．解法2（Ⅰ）（略）；（Ⅱ）利用不动点求出的通项公式：考虑函数的不动点，即方程的两个解与，则，，它们之比为精彩文档实用标准，反复利用此式，得，于是的通项为．显然，而等价于，即，该不等式对一切均成立，故结论得证．解法3（Ⅰ）（略）；（Ⅱ），利用此式用数学归纳法不难证明，由（Ⅰ）中结论，欲证明，即证，亦即证，也就是．令，则只需证，易知，只需证，利用分析法

4、：，得证．通过解法1得到启示，我们可以把该结果推广为：定理4设在上可导，且，，数列、分别满足，，，，，则，．证明　首先证明，：对，由，得，又由，得，即得，故有精彩文档实用标准，于是，同理，有．下面用数学归纳法证明：当时，因为，，所以，结论成立．假设当时，结论成立，即．则当时，，，即得，．设，则，于是也就是说，当时，有，定理得证．注4　如果函数满足，称为函数的不动点．定理4揭示了一类由两个具有公共不动点的迭代函数构造的数列的不等式关系．21．（2006年陕西卷）已知函数且存在使（I）证明：是R上的单调增函数；设其中　（II）证明：（III）证明：21.解:（I）∵f'(x)=3x2－2x+=

5、3(x－)2+>0,∴f(x)是R上的单调增函数.（II）∵00=x1,y2=f(y1)=f()=<=y1,综上,x1

6、2,…,都有xn

7、成立.由(i)、(ii)可知，对一切正整数都成立.又因为时，，所以，综上所述．（II）．设函数，．由（I）知，当时，，　　　从而所以g(x)在(0,1)上是增函数.又g(x)在[0,1]上连续,且g(0)=0,所以当时，g(x)>0成立.于是．　　　　　　　故．09年）21．（本小题满分14分）已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．（1）求数列的通项公式；（2）证明：.精彩文档实用标准解：（1）设直线：，联立得，则