递归数列通项与不动点原理

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1、第29卷第3期2008年5月喀什师范学院学报JournalofKashgarTeacherSCollegeVd．29No．3May2008递归数列通项与不动点原理邓勇(喀什师范学院数学系，新疆喀什844007)摘要：运用线性空间的不动点原理，研究了几类递归数列通项问题，获得了求三类递归数列通项公式的一种新方法．关键词：递归数列；连续函数；不动点定理；通项公式中图分类号：0151．2文献标识码：A文章编号：1006—432X(2008)03—0023．03l问题的提出得定义【I】方程，(z)=0的根称为函数，(z)的不动点．设厂：卜

2、+R，其中I是R的一个区间，数列{a。}由zI∈I和递归关系a。=f(a。一I)行≥2)所确定．若_r是连续的且{a。l收敛于r，即r=tim4。=liraf(a．一1)=，(1ira口。一1)=，(r)，【‘J因此，求数列{a。}收敛点的问题就转化为求方程，(z)=。的不动点了．数列{a。}可以看作是定义在自然数集合上的函数a。=，(咒)[纠．Nit：，可利用递归数列，(咒)的不动点将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或降为阶数较低的递归数列．这种求递归数列通项公式的方法称为不动点方法．【3】2线性递归数列2．1一阶线性递归数

3、列设一阶线性递归数列由递归方程a。=pa。一l+q(户≠O)给出．当q=0时a。=pa。一I(符≥2)，(1)设，(z)=如，则(1)由递归关系a。=f(a。一1)给出．当给定初始值al时，(1)等价于一个首项为al，公比为户的等比数列{a．Ia。=4IP”1}．当q≠0时，a。=加。一l+口(玎≥2)，(2)设f(x)=(P一1)z+q，则(2)由递归关系a。=f(a。一1)给出．只需把(2)转化为(1)的情形即可．为此，令a。=b。+A(A为待定常数)，并将它代入(2)b。+A=P(b。一l+A)+q，6。=加。一l+(砧一A

4、+q)．为要Ib。}满足(1)，只要似一A+q2o，即A2r与．这说明A是函数，(z)=(户一1)z+口的不动点．[5】于是有下面的定理1若A是，(z)=(P一1)z一·口(户≠O，1)的不动点，则一阶非齐次线性递归数列(2)等价于齐次线性递归数列a。一A=P(a。一I—A)．(3)由定理1可得(2)所确定的非齐次线性递归数列的通项公式a。=A+(aI—A)P”1(挖≥2)．例1已知口l=1，口。=—}口。一l+1，求口。．解设，(z)=÷z+1，则方程的不动点为A=2．又已知al=1，户=了1，所以口。=2+(1—2)(号)”l

5、=2一(专)”l=2一刍．2．2二阶线性递归数列‘设二阶线性递归数列由递归方程a．=pa．一l+∞。一2+r(咒≥3)(4)给出．为求(5)所确定数列的通项，我们希望用一阶线性递归数列的相应结果．为此令6。=a。一勋。一l(A为待定常数)，并将它代人(4)得b。=(户一A)a。一l+舭。一2+r=(户一A)[口一一t+石_当7一一z]+r·为要{b。}成为(2)的形式，即b。=(户一A)b。一l+r，只收稿日期：2007．10．25作者简介：邓勇(1967．)，男，四川遂宁人．副教授，主要从事基础数学教学研究·24·喀什师范学院学

6、报第29卷要=_}=一A，于是A必须满足方程A2一砧一q=0．若令fI,I^(z)=z2一弦一q，则A为函数f(x)的不动点【5】．于是有下面的定理2若A是f(z)=z2一肛一g的不动点，则二阶非齐次线性递归数列(4)等价于一阶非齐次线性递归数列a。一An。一I=(P—A)a．一l一妇．一2)+r(n≥3)．(5)根据定理2，一般地，可将t阶线性递归数列a。¨=P1a。+b-1+p,a。+k-2+⋯+pta。降为k—l阶线性递归数列．特别地，当(4)中的r=0时，(4)所对应的齐次线性递归数列为a。=pa。一I+∞。一2(n≥3)

7、．(6)下面我们分两种情况讨论(6)的通项公式：(1)当z2一肛一q=0有两个不相等的根^l，A2时，由定理2，(6)等价于a-一AIa。一1=(P—A1)(a_一I—Ala。．2)或a-一Aia-一l=a2(a^一I一】la^．2)，递推之得·a-一^I口_一I=Ai～a2一

8、：Ilal)；(7)同理a。一．：124．一l=^i’2(口2一A2aI)．(8)由(7)(8)两式解得一口：等等+qal箐等．㈥口一2口z■Fi■+1■■F‘【9J(2)当z2一加一口=0有两个相等的根】l=A2日寸，把(9)式改写为am=a2(A{一2

9、+

10、：L：一3．：L2+⋯+AlA§’3+A{’2)+驴I(A：一3+A：一4A2+⋯+AlA；一4+A；一3)．令AI=A2=】，则a。=a2(n一1)A。一2+舭l(万一2)A。一3．(10)例2已知aI=2，a2=1，a。=5a。．I一6口。