Banach不动点理论及其应用

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1、不动点定理及其应用综述摘要本文主要研究Banach空间的不动点问题。[1]介绍了压缩映射原理证明隐函数存在定理和常微分方程解得存在唯一性定理上的应用；[2][3]介绍了应用压缩映射原理需要注意的问题；[4]介绍了不动点定理在证明Fredholm积分方程和Volterra积分方程解的存在唯一性以及在求解线性代数方程组中的应用；[5]讨论了不动点定理在区间套定理的证明中的应用。一、压缩映射原理压缩映射原理的几何意义表示：度量空间中的点x和y在经过映射后，它们在像空间中的距离缩短为不超过d(x,y)的倍（）。它的数学定义为：定义1.1设X是度量空间，T是X到X的映射，若

2、存在，，使得对所有，有下式成立（1.1）则称T是压缩映射。定理1.1（不动点定理）：设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有唯一的不动点，即方程Tx=x有且只有唯一解。证明：设是X种任意一点，构造点列，使得（1.2）则为柯西点列。实际上，（1.3）根据三点不等式，当时，（1.4）由于，故，得到13（1.5）所以当时，，即为柯西列。由于X完备，，使得，又由三点不等式，有（1.6）上面不等式右端在时趋于0，故，即。不动点的唯一性：假设同时存在,有成立，则（1.7）由于，所以必有，即。证毕。定理中的映射T是定义在整个X上的，但实际上有些问题中遇到的映射T

3、只在X的一个子集上有定义或压缩性质。为了适应这种情形的需要，定义X上的闭子集的不动点定理如下。定理1.2设是完备的。T是的映射。若在X的闭球上T是压缩的，并且满足条件（1.8）此处是满足的常数，则T在Y内有唯一的不动点。证明：Y作为内的闭集按X的距离成一完备距离空间，倘能证明，那么T就是上的压缩映射，根据不动点定理即可得证。实际上，任取，令，则，可见，证毕。应用压缩映射原理需要注意的几个方面（1）根据证明可知，为了获取不动点，可以从X中的任意一点出发（2）在T满足13（1.9）的条件下，T在X上不一定存在不动点。例：令，T是从R到R的映射。设，则（1.10）根据微

4、分中值定理，必定存在，使得，故（1.11）即，但是当时，方程无解，因此，映射T没有不动点。倘若给满足（）的算子加上适当的限制，便能保证T有不动点。定理1.3设完备，映射满足条件（）。若是列紧集，则T有唯一的不动点。证明：取的闭包。它是X内的自列紧集（即紧致性），而且有。在上定义一个实值函数（1.12）是上的连续函数。它在上达到最小值，即存在使（1.13）则。假若不然，即，考虑和，它们都属于。而由（）得（1.14）得到矛盾，不动点的存在性证得。T的不动点是唯一的。假设有使得，那么一方面有，另一方面由（）有，矛盾，可见13。证毕。（3）压缩映射原理中，距离空间的完备性

5、不能少。例：设具有由R诱导出的距离，定义T如下：（1.15）T是压缩映射，但是没有不动点。（4）方程的不动点在大多数情况下实际上不易求得，因此常用作为其近似值。这样就要估计与的误差。若用近似代替，由于，则其误差为（1.16）这就是误差估计式。二、隐函数存在定理和皮卡定理定理2.1（隐函数存在定理）：设函数在带状域（2.1）中处处连续，且处处有关于y的偏导数，如果还存在常数m和M，满足（2.2）则方程在区间上必有唯一的连续函数作为解：（2.3）证明：在完备空间上作映射A，使对任意的函数，有。按照定理条件，是连续的，故也连续，即。所以A是到自身的映射。A是压缩映射。实

6、际上，对于，根据微分中值定理，存在13，满足（2.4）由于，所以令，则有，且（2.5）按中距离的定义，即知（2.6）因此，A是压缩映射。由不动点定理，存在唯一的满足，即，也就是说。证毕。定理2.2（皮卡定理）：设是矩形（2.7）上的二元连续函数，设，，又在D上满足利普希茨条件，即存在常数K，使对任意的，有（2.8）那么方程在区间上有唯一的满足初值条件的连续函数解，其中13（2.9）为了证明本定理，首先有如下结论和定理：结论：C[a,b]是完备的度量空间定理2.3完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件为M是X上的闭子空间（皮卡定理）证明：设表示区间上连续函数全

7、体按距离所成的度量空间，由上面结论，是完备度量空间，又令表示中满足条件（2.10）的连续函数全体所成的子空间，不难看出是闭子空间，由上面定理知，是完备度量空间。令（2.11）则T是到的映射。事实上，因，所以若，那么当时，，又因是D上二元连续函数，所以上式右端积分有意义。又对一切，（2.12）所以，当时，。下面证明T是压缩映射，实际上，由条件（2.8），对中任意两点x和v，有（2.13）令，则，且（2.14）所以T是上的压缩映射。由不动点定理，存在唯一的，使得，即（2.15）13且。两边对t求导，即得。这说明是方程满足初值条件的解。另外，设也是此方程满足初值条件的解

8、，那么（2