简论不动点在一般经济均衡证明中的应用

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1、简论不动点在一般经济均衡证明中的应用摘要：本文给出了一般均衡及不动点定理的历史性阐述，在这基础上，作者刻画了不动点定理在一般均衡存在性的应用证明。从而，从中可以窥见主流经济学主线的历史变迁轨迹。关键词：一般均衡；不动点；流形一、一般均衡由来及其模型一般均衡相对于局部均衡而言。局部均衡是指单个市场的商品和生产要素的供求同时在一个价格状态空间下供求相等的情形；而一般均衡是指一个经济体系中所有商品市场和生产要素市场在一组状态空间下供求相等的情形；两种均衡的基础条件都是建立在生产函数和消费函数严格的凹凸性保持技术条件上。但同时，应指出的是：一般均衡并不等于单个静态商品市场和要素市场的总和，因为在同一

2、状态空间下，同一经济体系的不同商品市场和要素市场是互相影响的。故而，对一般均衡的分析较之局部均衡而言，更为复杂和不确定性因素更多。一般均衡理论的最初形式是由“洛桑学派”的创始人瓦尔拉斯（法国人）在1874——1877年提出的。但均衡的存在性问题，直到20世纪50年代才由著名经济学家阿罗和德布鲁利用复杂的数学工具角谷不动点定理证明得出。期间经历了1911年布劳威尔不定点定理的提出，瓦尔德在20世纪30年代的证明努力，40年代中冯*诺伊曼和角谷(Kakutani)对它的证明。因为，众所周知，瓦尔拉斯提出的方程个数等于未知变量个数并不能确保方程解的存在。而在这之后，20世纪70年代、80年代中，由

3、于拓扑理论和微分流形在经济理论中的广泛应用，Duffie和Shafer利用grassman流形对一般均衡的borsuk-ulam定理做了进一步深化和推广。蒋殿春在《高级微观经济学》一书中将瓦尔拉斯定理表述如下：瓦尔拉斯均衡：如果存在价格满足（1）（或简写成）则称经济达到了一个瓦尔拉斯均衡。利用瓦尔拉斯法则，，所以（1）式还可写成：若，则（2）；若,则（3）。（2）式表明如果某商品的均衡价格为正其市场应予以出清；而（3）式表明针对免费商品，此时供给可以大于需求。而张金清在《序方法与均衡分析》一书中将瓦尔拉斯均衡表述如下：定义1设是一个经济，如果存在和非零价格，满足：（1）意味着；（2）；（3）

4、对每个，。则称为一个瓦尔拉斯拟均衡经济，分别称和为瓦尔拉斯拟均衡配置和拟均衡价格。定义2设是一个经济，如果存在和非零价格，满足：（1）对每个，是中的一个极大元。（2）则称为一个瓦尔拉斯均衡经济，分别称和为瓦尔拉斯均衡配置和均衡价格。比较前后两个定义重要的区别在于条件（1）之不同，第一个为弱偏好，而第二个为严格偏好，所以得出的均衡状态也不相同。而蒋殿春与张金清关于瓦尔拉斯偏好的描述本质上是一致的，只是表述方式有些不同，并且张金清将经济体系的内在运行法则用数学语言表示为一种偏好关系。在此基础上，张金清刻画了与瓦尔拉斯均衡有关的三个定理。定理1对，用Riesz对偶空间表示纯交换经济的商品—价格空间

5、，为的序共轭空间，则纯交换经济有一个弱拟均衡，即存在一个有效配置和一个非零价格，使得对每个，都有。定理2设有效配置是纯交换经济关于价格的一个弱拟均衡，且至少存在一个，使，则有效配置是纯交换经济关于价格的一个拟均衡配置。定理3设有效配置是纯交换经济关于价格的一个弱拟均衡，若对每个，都有，且是序连续的，则有效配置必是纯交换经济关于价格的一个瓦尔拉斯均衡配置。以上三个定理表明，从弱拟均衡到拟均衡配置，再到瓦尔拉斯均衡配置，其偏好约束条件是越来越强的。而国内学者对瓦尔拉斯均衡的刻画无疑都受德布鲁证明的影响。德布鲁关于瓦尔拉斯均衡的刻画如下：1、设为线性空间的一紧子集，如果是到的上半连续映射，即，对于

6、中任一而言，集合为（非空）凸集且满足；那么中必存在一使得得以成立。2、如果以下条件成立，私营经济体系存在一均衡配置：对任意而言：（a）为闭凸集且下确列界为，（b.1）不存在饱和需求，（b.2）对于的任一，集合和在为闭集，（b.3）如果和为中的两点，则如果为的一实数，那么意味着，（c）必存在使得成立的；对于任意而言：（d.1）;（d.2）为闭凸集。（d.3），（d.4）德布鲁在随后的章节里给出了以上定理的证明并导出了相关引理，分析了和的性质。比较德布鲁和蒋殿春以及张金清关于瓦尔拉斯均衡的刻画，可以发现德布鲁在1959年给出的均衡假设条件过于严格，其基本假定完全市场（即一切经济活动都在同一时刻进

7、行）与现实差异太大，而张金清和蒋殿春给出的假设条件相对较弱，尤其是通过引入比不完全市场的一般均衡理论（简称为GEi）更弱的拟均衡的概念，使得超额需求映射或称为拟超额需求的连续性得到保持，进而将拟均衡的存在性转化为Grassman流形上的非线性映射的广义不动点问题。二、不动点定理概述关于一般均衡的存在性的证明可以从不动点、序方法、单纯形以及微分流形等角度来进行。其中，不动点定理是一个既比较古老的问题，因为它的历