关于迭代生成数列的极限求法.pdf

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1、万方数据2008年第2期商丘职业技术学院学报·V01．7，No．2第7卷(总第35期)JOURNALOFSHANGQIUVOCATIONALANDTECHNICALCOLLEGEApr．，2008文章编号：1671—812712008)02—0020—03关于迭代生成数列的极限求法王远民(商丘职业技术学院，河南商丘476000)摘要：利用单调有界原理、压缩映象定理和迭代公式增减性证明迭代生成数列的极限存在，得极限值A应满足的方程．解此方程，以求极限值A．关键词：迭代生成数列；单调有界原理；压缩映

2、象原理；不动点中图分类号：015文献标识码A0前言在混沌发展的历史中起了极其重要作用的论文《周期3的蕴涵混沌》(Periodthreeimplieschaos)，是由L—Yorke在1975年发表在美国数学月刊上的一篇论文．这篇论文主要是关于迭代生成数列的新发现．在这些新发现中我们看到它与数学分析有密切的联系，如在这篇论文中有部分内容是讲迭代生成的离散动力系统，它的一般形式是一阶递推数列公式菇。+1=八石。)，／7,∈N+在动力系统理论中称之为一维迭代动力系统(或离散动力系统)⋯．基于迭代生成数

3、列是研究混沌理论的敲门砖，因此在《数学分析》这门课中，迭代生成数列是一个很重要的概念，在近年来的考研试题中也经常有求迭代生成数列的极限的试题出现，且该部分试题的分值比例在逐年增加，地位异常重要．曾有人给出了迭代生成数列的极限求法或探讨迭代生成数列的敛散性问题，也有人研究了递推数列的通项公式的求法和迭代生成数列的周期问题．在此基础上，本文着重探讨迭代生成数列的极限存在的问题，研究求迭代生成数列极限的有关方法．1利用单调有界原理证明迭代生成数列的极限存在定理(单调有界原理)在实数系中，有界的单调数列

4、必有极限．证明不妨设{a。}为有上界的递增数列．由确界原理，数列{a。}有上确界，记a=sup{口。}．下面证明a是{a。}的极限．事实上，任给占>0，按上确界的定义，存在数列{a。}中某一项aⅣ，使得a一占0，任取0<‰<土，作迭代序

5、列．C算。+l=戈。(2一C×石。)(n=0，1，2，3，⋯)．求limx。．n’’∞解首先，注意到cx菇川=CX,。(2一c×戈。)：l一(1一c×Xn)2．用数学归纳法证明，下面证明之收稿日期：2007—12—27作者简介：王远民(1964一)，男，河南宁陵人，商丘职业技术学院高级讲师。主要从事函数论研究．·20·万方数据王远民：一类复合正弦函数非周期性研究第2期已知o<茗。<了1，不妨设9<石川<÷，则由“川=l一(1一“。)2知“。=l一(1一“州)2．因0

6、o<饼。<1朝<茗。<了1(其中nEⅣ)．f0<菇。<一,It可推出Jc【等=2一c×算。>1瑚川>％这说明序列{‰}单调递增、有上界，因此由单调有界原理知序列极限存在．记其极限为口．为求口我们对等式菇川=‰(2一c誓z。)两端取极限，得口=口(2一c×口)j口=÷flp得。l—im。石。=_．12通过判别迭代公式的增减性，来判别迭代生成数列{戈。}的极限存在命题如果，是某区间，数列{％}由迭代公式以石。)=戈川(n∈N)产生，如果Vn∈N推出戈。∈L则有：(1)当厂在区间，上严格单调递增时，{

7、石。}为严格单调数列；(2)当jr在区间，上严格单调递减时，}算。}的两个子数列{石：。}和{z：川}都为严格单调数列，并且有相反的单调性‘2]15’17．证明对(1)的证明分两种情况考虑：口如果戈：=八石．)>鼻．，那么用数学归纳法容易证明数列{石。}必为严格单调增加数列，下证之．菇2=八石1)>菇I，已知．不妨设戈。=八茗川)>z川，已证．则戈川=八算。)=八八x川))>，(戈川)=戈矿即茹州>茗。，命题得证．b如果茗：=八Ⅳ。)

8、列．证法同口．(2)注意到，当，在区间，上严格单调递减时，复合函数厂(．厂(戈))恰为严格单调递增的，应用(1)中的结论即得证明．注：1．如果将命题中的“严格”去掉，那么结论中的“严格”也应该去掉，这时数列{％}可能从某一项起为常数列．2．当，是一个有限区间时，条件“Vrt∈N推出名。∈，”意味着数列{戈。}有界，由此，应用(1)中的结论，当厂在区间，上严格单调递增时，极限limx。一定存在；应用(2)中的结论，当／在区间，上严格单调递减时，极限limx：。和limx：川都存在，只要这两个极限相