数列极限的求法

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1、内容提要数列极限可用语言和语言进行准确定义，本文主要讲述数列极限的各种性质及其不同求法，例如：唯一性、保号性、有界性、可加可乘性、保序性、迫敛性、极限定义求法、极限运算法则法、夹逼准则求法、单调有界定理求法、函数极限法、定积分定义法、Stoltz公式法、几何算术平均收敛公式法、级数法、收缩法等等.我们还会发现同一数列极限可用不同方法来求.最后还简要介绍了数列极限在现实生活中的应用，如几何中推算圆面积，求方程的数值解，研究市场经营的稳定性及购房按揭贷款分期偿还问题.通过这些应用使我们对数列极限有一个更系统立体的了解.关键词定义

2、；夹逼准则；Stoltz公式；数列极限：数列极限的性质；求数列极限的各种方法；数列极限的实际应用目录第一章数列极限的概念………………………………………………11.1数列极限的概念……………………………………………………11.2常用定理公式………………………………………………………2第二章收敛数列的性质………………………………………………42.1唯一性………………………………………………………………42.2有界性………………………………………………………………42.3保号性………………………………………………………………42.

3、4保序性………………………………………………………………52.5迫敛性………………………………………………………………52.6可加、可乘性………………………………………………………6第三章数列极限的求法………………………………………………73.1极限定义求法………………………………………………………73.2极限运算法则求法…………………………………………………83.3夹逼准则求法………………………………………………………103.4单调有界求法………………………………………………………113.5函数极限法……………………………

4、……………………………123.6定积分定义求法……………………………………………………133.7Stoltz公式法………………………………………………………143.8集合算术平均收敛公式法…………………………………………153.9级数法………………………………………………………………163.10其他方法…………………………………………………………18第四章数列极限在现实生活中的应用………………………………204.1几何计算—计算面积……………………………………………204.2求方程的数值解………………………………………………

5、..214.3市场经营中的稳定性问题………………………………………224.3.1零增长模型……………………………………………………224.3.2不变增长模型…………………………………………………234.4购房按揭贷款分期偿还…………………………………………24第五章结论…………………………………………………………26参考文献………………………………………………………………27第一章数列极限的概念在研究数列极限解法之前，首先我们要清楚数列极限的定义.这是对数列极限做进一步深入研究的先决基础.1.1数列极限的定义及分类数列极限概

6、念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法—割圆术.因一系列圆内接正多边形的面积在无限增大（）时，内接正多边形无限接近于圆，同时也无限接近于某一确定的数，此时这一数值可精确表达圆的面积.在解决类似的实际问题中逐步的引出了数列极限.针对不同的数列极限我们对其定义将会有细微的不同，下面主要介绍两种定义：定义，定义.定义1（语言）：设是个数列，若存在常数，对于任意给定的正数，都存在一个正整数，使得当时，都有，则称是数列的极限，或称收敛于，记作，或.这时，也称的

7、极限存在.定义2（语言）：若,存在正整数，使得当时，都有,则称是数列当无限增大时的非正常极限，或称发散于，记作或，这时，称有非正常极限.对于的定义类似，就详作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理.定理1.2.1（数列极限的四则运算法则）若和为收敛数列，则也都是收敛数列，且有若再假设及，则也是收敛数列，且有.定理1.2.2（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.定理1.2.3（Stoltz公式）设有数列，，其中严格增，且（注意：不必）.如果（实数，），则定理1.2.3'（Stoltz公式）设

8、严格减，且，.若（实数，），则.定理1.2.4（几何算术平均收敛公式）设，则（1），（2）若，则.定理1.2.5（夹逼准则）设收敛数列都以为极限，数列满足：存在正数，当时，有，则数列收敛，且.定理1.2.6（归结原则）设在内有定义.存在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且