数列极限的求法探讨

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1、关于数列极限的求法探讨摘要:数列极限是高等数学中最重要的概念之一,本文主要探讨了数学分析中数列极限求解的几种思路和方法，结合具体的例题分析了一般极限的求解过程，给出了一般极限求解的方法和技巧，揭示了极限求解的解题思路.关键词:数列极限单调有界归结原则极限是数学分析中最基本的概念之一，用以描述变量在一定变化过程中的终极状态。纵观数学的发展，我们可以看到人们对于极限概念的认识经历了一段漫长的过程。它把初等数学扩展为一个新的阶段——变量数学，整个数学分析都是以极限为基础而展开的一门数学科学。利用极限定义

2、了函数的连续性、导数、积分等。同时我们还知道求极限的方法并不是唯一的。本文主要结合相关概念、定理、性质和例题，对数学分析中极限求解的相关的方法予以归纳总结.本文主要结合相关概念、定理、性质和例题，对数学分析中数列极限求解的相关的方法予以归纳总结.1.利用定义求数列极限定义：(点列以为极限的定义)对于任意给定的，存在正整数，当时，，则称点列当趋于无穷时以为极限.记为.（必须用公式编辑器中的符号）用数学符号简记为：例1用语言证明（).证明：设，由于,所以.有二项式定理得因此，解此不等式得.取,当时，有

3、，这说明.定义：(点列不以为极限的定义)存在定数对于任意存在，有.用数学符号简记为：例2用证明：取注：用极限的定义时，只需要证明存在，故求解的关键在于不等式的建立.在求解的过程中往往采用放大、缩小等技巧，但不能把含有的因子移到不等式的另一边再放大，而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大，有时还需加入一些限制条件，限制条件必须和所求的一致，最后结合在一起考虑.2.利用极限的运算性质求数列极限定理：若存在，则;;（）.例3若，，则求.解：根据数列极限的运算性质有3.利用两边夹定理求数列极限（两边夹

4、定理）若满足(1)(2)则.利用两边夹定理结合不等式推导求数列极限，是一种常用的方法，这里我们将通过以下例题来加深对这一方法的体会，以期更熟练更灵活的运用它。例4证明（在我的电脑上此题不显示数字之间的运算符号）证明：由于两相异的算术平均值大于几何平均值，故分母中因子·········由此可知：故由两边夹定理，得注：两边夹定理多适用于所考虑的数列比较容易适度放大或缩小，而且放大和缩小的数列是容易求得相同的极限。基本思想是把要求解得极限转化为求放大或缩小的数列的极限。一般是将所有项换为最大项得到一个式

5、子，然后所有项再换为最小项又得到一个式子，证明这两个式子的极限相同，最后得出原式的极限。4.利用上下极限求数列极限（上下极限定义）设为有界点列，令，，则有，.（的字号大小不一致）且有界，于是存在且.我们称A，B分别为的上下极限.记为.我们知道，一个有界数列，未必存在极限，但它一定有上下极限。我们还知道，有界数列极限存在的充要条件是其上下极限相等。据此，我们利用上下极限，必要时结合语言，就可以处理一些数列的极限问题。例5.设试证：若为有限数，则证明：对，由知，使当时，有对任何将时的各式相乘，并开n次

6、方,得当对上式右（左）边的不等式分别取上（下）极限，得又因为的任意性，知故.5.应用单调有界原理求数列极限(公理)在实数系中，有界的单调数列必有极限。单调有界原理是证明单调数列收敛的基本方法之一。它与极限的四则运算法则相结合，有时还可以求出某些单调有界数列的极限。例6.设定义,（此式子因为）试求.证明：令则（应为）利用归纳法可证注意到当时，恒有.故而推知，所以.这说明为单调增加且有界的数列，故极限存在。记,再由正玄函数的连续性，有取极限得.(应为)由此可知必有.即.从而.（应为）注:利用单调准则证

7、明极限存在，主要针对递推数列，必须验证数列两个方面的性质：单调性和有界性。解题的难点在于判断单调性，一般通过数学归纳法、减法、除法比较前后项。6.利用递推关系求数列极限在某些领域的极限问题中，如能求出数列中各项间的递推关系，往往可以比较地证明极限存在，并计算出极限。例7.设已给两数及，，由递推公式来决定，求.解：若从题中所给的等式的两端各减去，则得.令，得，且。（序列，）（删掉）对的前n项求和，得即，令，便有7.利用柯西收敛准则证明数列极限（柯西收敛准则）点列存在极限的充要条件是对于任意给定的，存

8、在当时，满足.用书写符号简记为当.即：正整数，使得当时，有.例8.证明：数列为收敛数列.取，当时，有由柯西收敛准则，数列收敛.8.利用有界变差数列收敛定理求证数列极限（有界变差数列收敛定理）单调有界数列必定收敛例9.若数列满足条件则称为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛证：令,有单调递增.由已知知有界，故收敛。从而，使得当时，有.即由柯西收敛准则，知数列收敛注：按极限定义证明一个数列收敛时，必须先知道它的极限是什么。有界变差数列收敛定理的重要性在于，它使我们可以从数列本身出发