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1、关于数列极限地求法探讨摘要：数列极限是高等数学中最重要地概念之一，木文主要探讨了数学分析中数列极限求解地几种思路和方法,结合具体地例题分析了一般极限地求解过程,给出了一般极限求解地方法和技巧，揭示了极限求解地解题思路.关键词：数列极限单调有界归结原则极限是数学分析中最基本地概念之一，用以描述变量在一定变化过程中地终极状态•纵观数学地发展，我们可以看到人们对于极限概念地认识经历了一段漫长地过程.它把初等数学扩展为一个新地阶段一一变量数学，整个数学分析都是以极限为基础而展开地一门数学科学•利用极限定义了函数地连续性、导数、积分等.同时我们还知道求极限地方法并不是唯一地•本文主要结合相关概念
2、、定理、性质和例题，对数学分析中极限求解地相关地方法予以归纳总结.本文主要结合相关概念、定理、性质和例题，对数学分析中数列极限求解地相关地方法予以归纳总结.「利用定义求数列极限定义何：（点列｛%｝以兀0为极限地定义）对于任意给定地£〉0,存在正整数N>0,当n>N时，xn-x00,3N>0,当n>N=>
3、xz?-x0
4、<6-例1用g-N语言证明lim—=0（d〉l）.川*a证明：设d=l+“，由于所以〃〉0.有二项式定理得an=(1+“)"=1+n/Li+2因此a
5、a(/7-lJ/z2解此不等式得心三+1・W>0,取“=■■2.+1，当刃＞N时，有—-0ann一<7;―<£，an这说明胆斧°（小）・定义2川：（点列｛兀」不以x（）为极限地定义）存在定数勺〉0,对于任意£〉0,存在S'有用数学符号简记为:2()>0,V£>0,BlJk>k,xnk-x()>£0.例2用—N语言证明怛（-1）〃工1・证明：取£（）=1,/〃＞0,令R=2n+1＞〃,贝U有
6、冯“+1—1=2＞1=吕）.注：用极限地定义时，只需要证明存在N,故求解地关键在于不等式地建立•在求解地过程中往往采用放大、缩小等技巧，但不能把含有77地因子移到不等式地另一边再放大，而是应该直接
7、对要证其极限地式子一步一步放大，有时还需加入一些限制条件，限制条件必须和所求地N—致，最后结合在一起考虑.2.利用极限地运算性质求数列极限定理［6］：若1曲£和limy”存在，??—>00>00则⑷lim(兀±yn)=limxn±lim几;/J-»GO'H-XZJ0)1哄*勿=HEco?/—>oonH；—»a(c)liii1i”TOO(limynH0)•”一>00例3若limxw=1,lim儿=2,则求lim(xw+儿).//—Xc/；—»oo/；—»ac'解：根据数列极限地运算性质有g+儿）=3打3•利用两边夹定理求数列极限（两边夹定理）［6］若｛暫｝,｛几｝,｛兮｝满足（l）儿乂（
8、2）lim儿=limzz?=A（n=12）n—>co/?—xo则imxn=A.ms利用两边夹定理结合不等式推导求数列极限，是一种常用地方法，这里我们将通过以下例题来加深对这一方法地体会，以期更熟练更灵活地运用它.例4证明lim—=0（在我地电脑上此题不显示数字之间地运算符号）w24（2n）证明：由于两相异地算术平均值大于儿何平均值，故分母中因子2=竺>庾4启>届•222」2“7；（2“+1）>J（2，t（2“+i）由此可知：。<晋¥<缶》（心co）故由两边夹定理，得理寻喘“注：两边夹定理多适用于所考虑地数列比较容易适度放大或缩小，而且放大和缩小地数列是容易求得相同地极限.基本思想是把
9、要求解得极限转化为求放大或缩小地数列地极限.一般是将所有项换为最大项得到一个式了，然后所有项再换为最小项又得到一个式子，证明这两个式子地极限相同，最后得出原式地极限.（上下极限定义）[5]4.利用上下极限求数列极限设｛兀」为有界点列，令an=sup｛xa｝»亿=曲｛忑｝，贝0有k>n畑〃qny〉》色》色+乙，b,B.我们称A,B分别为'丿I丿n->ccms\mhn.”TOO{兀讣地上下极限•记为lim=A=lima”limxz?=BQ}〃一>8"TOO-V->00我们知道
10、，一个有界数列，未必存在极限，但它一定有上下极限.我们还知道，有界数列极限存在地充要条件是其上下极限相等•据此，我们利用上下极限,必要时结合g-N语言，就可以处理一些数列地极限问题.例5.设>0(/1=1,2,).试证：若11171^-=/,/为有限数，则lim='7“TOO乂/；—Ko-y证明：对/£丘（0,/）,由lim旦二/,知日川>0,使当k>N时,有—V玉LvZ+氓=N,N+1,).对任何〃〉N,将£=N,7V+1,1时地各式相乘，
