完全耦合的正倒向随机微分方程及相应的偏微分方程系统料木

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1、数学年刊25A：4(2004)，457—468完全耦合的正倒向随机微分方程及相应的偏微分方程系统料木吴臻丰于志勇料提要本文利用完全耦合的正倒向随机微分方程，对一类耦合了一个代数方程的二阶拟线性抛物型偏微分方程系统，给出概率表示．在适当的假设下，得到这类偏微分方程系统粘性解的存在唯一性结果．关键词正倒向随机微分方程，抛物型偏微分方程，比较定理，粘性解MR(2000)主题分类60H10，35K45中图法分类0211．63，0175．23文献标识码A文章编号1000-8314(2004)04—0457—12§1．引言本文讨论完全耦合的正倒向随机微分方

2、程和相应的偏微分方程系统．在最优控制理论中，当我们运用最大值原理得到哈密顿系统时(见[1])，以及在数理金融中，当我们考虑大户投资者时(见[2])，就会遇到完全耦合的正倒向随机微分方程．对该类方程的研究，有两种主要的方法．一种称为“四步框架”法(见[3])．这种方法被认为是一种偏微分方程和概率论相结合的方法，可以在任意的时问区间得到解的存在唯一性结果．但是，这种方法要求前向方程是非退化的，方程的系数不能是随机的．这使得它的应用受到限制．因为实际的情况常常要求方程的系数是随机的，例如在金融市场中．另一种是纯概率的方法．在一定的单调性的假设下，对于

3、任意固定的时间区间，当正向方程和倒向方程具有相同的维数时，Hu．Y和Peng[4]给出了正倒向随机微分方程解存在唯一性结果．彭和本文的第一作者[5]将这一结果推广到不同维数的情形，并且减弱了单调性假设，这使得这些结果可以更广泛的应用．Yong[6]把在文[4，5]中使用的方法称为“连续性方法”．他引进了“桥”的概念，使得这一方法更加系统化．我们的问题是如何将完全耦合的正倒向随机微分方程和偏微分方程系统(可能足退化的)联系起来，以及对相应的偏微分方程寻找适当的解的概念，例如：粘性解(见[7])．这是由Peng[8]提出的公开问题．在一个不同于文[

4、4，5]的单调性条件下，E．Pardoux和Tang在[9]中，将正倒向随机微分方程和拟线性抛物型偏微分方程相联系，给出了粘性解的一个存在性结果．但是在他们的文章中，不依赖于Z．实际上，当依赖于Z时，本文2002年12月25日收到．山东大学数学与系统科学学院，济南250100．E-mail：wuzhen@sdu．edu．cn山东大学数学与系统科学学院，济南2501O0．国家自然科学基金(No．1Oarlo6r)，教育部优秀青年教师资助计划，霍英东青年教师基金和博士点基金及山东省优秀中青年科学家科研奖励基金资助的项目．数学年刊25卷A辑完全耦合的

5、正倒向随机微分方程是与一类耦合了一个代数方程的拟线性抛物型偏微分方程系统相联系的．最近，本文的第一作者[10]使用概率的方法得到了关于正倒向随机微分方程的比较定理．这个结果是用来证明偏微分方程系统粘性解的基本工具之一．本文使用比较定理以及一些其他的技术，得到了与正倒向随机微分方程相联系的偏微分方程系统粘性解的存在性结果．然而，去证明粘性解的唯一性结果时，情况变得更加复杂．在文[9]中，他们没有给出关于粘性解的唯一性结果．在本文中，当不依赖于Y时，结合存在性证明中和[7]及[11]中的技术，我们得到了该类偏微分方程系统粘性解的唯一性结果．新颖之处

6、在于构造了一个不同于以往的辅助函数以适合我们的需要．第二节将完全耦合的正倒向随机微分方程和一类耦合了一个代数方程的拟线性抛物型偏微分方程系统联系起来．第三节，对于这种类型的偏微分方程系统，给出粘性解的定义，并证明存在性和唯一性．最后一节给出一个例子，篓以展示正倒向随机微分方程和∥=偏微分方程系统的这种联系．§2．正倒向随机微分方程和偏微分方程系统令(Q，，P)是一个概率空间，{Bt}t>o是一个d_维布朗运动，(t，X)∈[0，T]XR，_考虑下面的正倒向随机微分方程：扭L(2．1)其中b：QX[0，T]XRXRXR—R，：QX[0，T]XRX

7、RXR—R，，：QX[0，T]XRXRXR__÷R，：QXR__÷R．对某个给定的to∈[0，]，令。=Uo{B一B￡。；tort)，t∈[to，]．其中是的P一零子集．给定一个mXn满秩矩阵G，记U=(X，Y，)，A(t，U)=(一G，，Gb，G)(t，)，其中Ga=(Gal⋯Gad)．在Rn，Rm和Rm×d中，使用通常意义的内积和欧几里德范数．假设JI(i)Vu，A(‘，)∈M(0，)；A(t，)关于一致Lipschitz连续；fH2．1)(ii)Vx，(。)∈L(Q，，P)；(。)关于。∈R一致Lipschitz连续、以及下面的单调假设J

8、I(A(t，)一A(t，面)，一面)一lIG奎I一2(IGI+IG)，fH2．2)((。)一(i)，a(x一))lIG奎I，其中l，2和l是给定的非负