概率论与数理统计 夏宁茂 答案 第三章

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1、3.11解:本题为二维均匀分布,当二维随机向量(,)ξη∼UG(),其中Gx=≤{(,)

2、yaxb≤,cyd≤≤},其密度函数中的非零常数11c==.Sb()−−a()dcG这样其二维密度函数为⎧1⎪,axbcyd≤≤≤≤,,pxy(,)=⎨()badc−−()⎪⎩0,其他,利用边际密度公式3.2.4,得当x∉(,)ab时pxy(,)0=,故px()0=,而当x∈(,)ab时,ξddy1px()==，ξ∫c()badcba−−−()于是⎧1⎪,axb≤≤,px()=⎨ba−ξ⎪⎩0,其他,类似地,⎧1⎪,cyd≤≤

3、,py()=⎨dc−η⎪⎩0,其他,由于p(,)xy=⋅pxpy()(),故ξ,η独立.ξη3.12解:(1)从图中可知当−10<

4、()(),故ξ,η不独立.ξη3.13解:由已知ξ∼b(1,0.6)得ξ服从两点分布,即P(0ξ==)0.4和P(1ξ==)0.6由公式PyxPy(,)(η===ξ

5、xP)(⋅x)其中x=0,1,得联合分布列为iiηξ

6、iiiξiη123ξ00.10.20.110.30.10.2P(η≠=+++=1)0.20.10.10.20.6Px(,1ξ=η≠)i再由公式Px(

7、1ξη=≠)=,得联合分布列为iP(1η≠)ξ01Px(

8、1ξ=≠η)0.50.5i3.14解:(1)当nm≥时阶乘有意义.根据二维随机变量的边际公式

9、3.2.1和3.2.2,n−−14mnme(7.14)(6.86)Pn()ξ==∑m=0mnm!(-)!ne−14n⎛⎞n⎛⎞mn⎛⎞−m(14)7.146.86=∑⎜⎟⎜⎟⎜⎟n!1m=0⎝⎠m⎝⎠4⎝⎠14n−14(14)e==(n0,1,2,L),n!+∞−−14mnme(7.14)(6.86)Pm()η==∑nm=mnm!(−)!mn−−14+∞m(7.14)e(6.86)=∑mn!(nm=−m)!m−14(7.14)e6.86=⋅em!m−7.14(7.14)e==(mn0,1,2,L,).m!(2)利用

10、条件分布列公式3.2.5和3.2.6−−14mnmm−7.14e(7.14)(6.86)(7.14)ePnm(

11、)ξη===()mnm!(−)!m!nm−−6.86(6.86)e==(nmm,+1,L),()nm−!−−14mnmn−14e(7.14)(6.86)(14)ePmn(

12、)ηξ===()mnm!(−)!n!⎛⎞nmn−m==⎜⎟(0.51)(0.49)(mn0,1,2,L,).⎝⎠m(3)⎛⎞20mm20−Pm(ηξ===

13、20)⎜⎟(0.51)(0.49)(m=0,1,2,L,20).⎝⎠m3.15解

14、:(1)根据二维随机变量的边际公式3.2.1和3.2.2,得边缘分布列η012771Pj()η=121836ξ012511Pi()ξ=12212(2)利用条件分布列公式3.2.5η0121Pj(

15、1η==ξ)33(3)利用条件分布列公式3.2.6ξ012241Pi(

16、0ξ==η)777(4)由于PijPi(,)()()ξ==≠=⋅=ηξηPj,故ξ,η不独立.3.16解:先求边际分布,+∞−−yx当x>0时,p()xe==dye,ξ∫x当x≤0时pxy(,)0=,故px()0=,ξy−−yy当y>0时,p()ye=

17、=dxye,η∫0当y≤0时pxy(,)0=,故py()0=,η因此,根据条件密度公式3.2.7和3.2.8得在y>0条件下,⎧1⎪,0<

18、)=⎨yξη

19、⎪⎩0,其他,在x>0条件下,xy−⎧ex,0<

20、)=⎨ηξ

21、⎩0,其他.3.17解:1212315px(0.5)==ydy,ξ∫0.524512x=0.511pv(0.5,)215127Pd(0ηξ≥=.75

22、0.5)=∫∫v=⋅=vdv.0.75p(0.5)0.751631515ξ3.18解:先求边际分布,+∞−+xy(1)−x当

23、x>0时,p()xx==edye,ξ∫0当x≤0时pxy(,)0=,故px()0=,ξ当y>0时,+∞−+xy(1)py()=xedxη∫01+∞−+xy(1)=−∫xdey+10+∞,x−+xy(1)1+∞−+xy(1)=−ee+∫dxyy++11001=,2(1y+)当y≤0时pxy(,)0=,故py()0=,η因此,根据条件密度公式3.2.7和3.2.