二阶常系数非齐次线性微分方程的通解公式

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1、万方数据第14卷第3期高等数学研究V01．14，No．3二阶常系数非齐次线性微分方程的通解公式宋燕(渤海大学数理学院．辽宁锦州121000)摘要根据二阶常系数齐次线性微分方程的特征根，利用降阶法．可给出求解一般二阶常系数非齐次线性微分方程的通解公式．关键词常系数；非齐次；线性微分方程；通解中图分类号0175．1文献标识码A文章编号1008—1399(2011)03—0006—02在一般常微分方程教材中，求常系数非齐次线性微分方程的通解可归结为求对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的一个特解．

2、而齐次线性微分方程的通解可由其特征方程的根来决定．对非齐次线性微分方程，教材中多数都介绍当非齐次项为两种特殊类型时，其特解可用待定系数法求得[1。]．本文根据常系数齐次线性微分方程的特征根，利用降阶法，给出了当非齐次项为任意连续函数时二阶常系数非齐次线性微分方程的通解公式．定理1设二阶常系数非齐次线性微分方程，+缈7+qY一厂(z)(1)对应齐次方程的特征根为A。，A：，而厂(z)为任意连续函数，则(i)当A。，A。为不相等的实根时，方程(1)的一个特解为1广了。2#专leJ．zx∽de。2q—r1e^

3、l’lf(z)e一～。dxI．(ii)当A。．A：为相等的实根时，方程(1)的一个特解为’广rY’=ex，1zI厂(z)e-APdx—r]Ixf(工)e。卜dxI．(iii)当A。，叉：为共轭复根时，不妨设AⅢ一口±所(卢>0)，这时方程(1)的一个特解为j，’2吉∥lSi啦je一厂b)c。啦妇一收稿日期；2010—10—25l修改日期：2011—03—19．基金项目：辽宁省教育厅高校科研项目(2008009)．作者简介：宋燕(1962--)，女．辽宁锦州人，硕士．教授，从事常微分方程定性理论研究．Em

4、ail：jzsongyan@163．conl．cos卢rfe一，(z)sinflxdxf．这里在计算不定积分时，积分常数均取零．证明(i)已知A。，A：是不相等的实根，故有A1+Az=一P，AlA2=q，于是方程(1)变为，一(Al+A2)了’+A1A2Y一，一AlY7一A2(y7一Aly)一厂(z)．(2)再令z—Y7一AlY，则方程(2)变为z7一A2z一厂(z)．这是一阶线性微分方程，求其一个特解为g’一e”I厂(z)e_22dx，于是由变换可得方程(2)的一个特解为y。==e^，。jf[e(^z

5、一^·)。j'，c。c，e一^z2d·c]d·c==志[出可倒一ar叫可弛舻。出]．(ii)证明的思想方法与(i)类似，从略．(iii)由情形(i)中的特解形式及公式e11。一e‘升芦’。一e“(cosJ＆r+isinflz)，出。=e‘”芦’。=e“(COSflT—isin／3r)，得方程(1)的一个特解为y·一∥(c0啦+i。i啦)：f『(cos耻一isin耻汀P厂匕)(∞啦十isiI恤)司出一A(z)+iB(工)，其中A。)=酽嘣耐[瞅州P厂＆)c。啦c司出+酽co啦肛雌卜弛)Si啦出]出一万方数

6、据第14卷弟3期宋燕；二阶常系数非齐次线性截分方程的通解公式7矿Si啦儿哗，P弛)sin皿rdxIdx+矿si啦JI[s雌，P，(z)婶嘲如，脓，=酽叫[叫P厂∽雌司出一，婶』[si雌JIP弛)哗陶出+r雌J．[si雌卜弛)雌嘲dx+舭)=南r哗[感n耐P，∽∞啦如一卜m)Sin2肛c。啦d司一务‰啦[c。s耻，e一厂(小i啦出一』e1厂(小i啦c。s2p：dx]--寺嗡啦[sinz肛fe-“，(小i啦如一卜弛)Si啦sin2肛d司一e=sin犀r[c。s2触卜“，(z)c。啦dz一卜m)co啦cos2

7、触d司=吉酽[si叫●弛)co啦dLc—c。啦卜他)si啦如]．同理计算可得。B(z)=0．于是方程(1)的一个特解为y’一去e4[si唯卜m)co啦dz—cos肛Ie—f(x)sin肛dx1．定理2在定理1的条件下，方程(1)的通解公+’GeneralSolutionofSecond式可分如下情形分别给出：(i)当A。，

8、=l：为不相等的实根时，Y=CieAl。+Czel=。+志沪，删∥dx廿J．删一司．(¨)当A。，A。为相等的实根时，Y一(Cl+Czz)一l。+小。[zJ．，(z)p。出一J．巧(

9、z)e-h。如]．(Ⅲ)当．；I。，．；I。为共轭复根时，Y=e4(Clcos／tr+C2sin／b)+吉e4[si啦卜m)cos触dx—co啦Ie-aX厂(z)si啦如1．其中C。，C2为任意常数．例．1求解微分方程墨七》=secx．解易知对应齐次方程的特征根为Al=i，J=12=一i．即相应地有口=0，p一1·于是由本文定理可知所求方程的通解为y—C1COSX+c2sinx+sinxIsecxcosxdx—COSXIsecxsinxdx