常系数二阶微分方程的齐次通解.doc

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1、附录2常系数二阶微分方程的齐次通解常系数二阶齐次微分方程设其中a、w0都是正实数.要使二阶微分方程有确定的解，必须知道两个初始条件:初始值y（0）和一阶导数的初始值。这里只讨论齐次通解在一些典型的系数值下的特点，不求出解中的待定常数。目的在于避免过多的数学式子,突出对有普遍意义的特征的认识.尝试（S为实的或复的常数）是否能为方程的解。代入方程可得恒等式：由此得到决定常数S的特征方程:该一元二次代数方程的根为：因常数项的值不同，解的形式不同：1。自由振荡情况(无阻尼情况）（）此时,S是一对共轭虚数：齐次通解为：变为常用的三角函数式这是一个等幅正弦振荡，

2、w0是自由振荡角频率或谐振角频率。K和q是由初始条件决定的常数。2.欠阻尼情况(）此时，S是一对共轭复数：齐次通解为：这是一个衰减振荡.其中,（正实数）是衰减振荡角频率.振幅按指数函数衰减，故称a为衰减系数。K和q是由初始条件决定的常数。这种情况下，系统开始会有正弦振荡，但随时间而衰减，过一段时间后就消失。3.过阻尼情况（)此时，S是两个负实数:齐次通解为:K1和K2是由初始条件决定的常数。系统若受冲击，会无振荡地衰减。在文氏电桥正弦波发生器电路中，这是A<1的情况.4。临界阻尼情况(）此时，S是一对重根（相等的负实数）:现在只得到方程的一个特解,设

3、方程的通解为代入原方程，得到：积分两次，得：最后得到通解：K1和K2是由初始条件决定的常数.系统若受冲击,仍然不会振荡，会无振荡地衰减。但是临界状态。5.a〈0的情况上面的讨论，假定了a>=0，系统可能振荡或衰减。如果a<0，观察上面解的指数函数部分，发现指数成了正值，是一个随时间增大的因子，这表明系统如有振荡，则是增幅振荡，如无振荡，则是发散的,当然又与a、w0之间的相对大小有关，这里不作详细分析.在许多情况下，物理系统可以用常系数二阶微分方程描述.对具体的物理系统，自变量和函数代表各自的物理量,数学求解时,将方程整理成与一般形式对应的方程，确定与

4、系数对应的部分，套到上述讨论的情形中，推导出与具体对象相关的有物理意义的结论。对于非齐次的二阶微分方程，求解起来是不容易的，并不总是能得到公式解的。实际上常做“数值解"，计算机当然是大派用场了.电路仿真平台实际上就是用计算机对电路做数值解。