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1、2001年10月北京航空航天大学学报October2001第27卷第5期JournalofBeijingUniversityofAeronauticsandAstronauticsVol.27No15在MATLAB中模拟平稳随机过程彭兢金长江(北京航空航天大学飞行器设计与应用力学系)摘要:叙述了平稳随机过程理论的基本定义,以及运用实谱分解方法模拟平稳随机过程的原理.全面分析了在微型计算机上使用MATLAB软件模拟平稳随机过程的注意事项,包括:信号源的选取,仿真算法和相应参数的设置,由于功率谱密度的不同定义而需要进行相应的调整等3个方面.结合大气紊流和航空母舰在海上的随机运动
2、的2个实例,给出了在MATLAB中模拟类似过程的方法,并对结果进行了检验.分析表明在MATLAB中能够较好地模拟平稳随机过程.关键词:平稳过程;功率谱密度;紊流;舰船运动中图分类号:O211.61文献标识码:A文章编号:100125965(2001)0520585204随着微型计算机的发展,计算机模拟技术日自相关函数与谱密度满足益完善.MATLAB语言和软件包于1980年由美国1∞iτωSx(τ)=eSx(ω)dω学者CleveMoler等人推出后[1],受到控制界研究2π∫-∞者的普遍重视,风靡了全世界,尤其在教学和科研-∞<τ<∞(3)方面已经得到了广泛应用.MATLA
3、B提供的大量均方差和谱密度之间满足如下关系:1∞应用工具箱和交互式的SIMULINK仿真环境,使σ2=R(0)=S(ω)dω(4)xxx2π∫-∞得经典的控制理论和方法很容易在微型计算机上1.2线性系统中的平稳随机过程实现.本文中所进行的研究计算和模拟都是在线性定常系统如图1.MATLAB5.1中完成的.x(t)y(t)使用MATLAB模拟平稳随机过程必须进行随G(s)机输入连续系统仿真,此时如果采用一般的连续图1线性系统系统仿真方法来处理,得到的仿真结果有很大的误差,这是由于MATLAB在处理一般的线性系统文献[2]证明:如输入x(t)是平稳随机过程,时采用的直接离散化方
4、法造成的,本文从基本理输出y(t)也是平稳随机过程.并且数学期望满足∞论出发分析了使用MATLAB模拟平稳随机过程的E[y(t)]=E[x(t)]∫h(λ)dλ(5)方法,并提出了使用中必须注意的几个重要事项.0式(5)中,h(λ)(λ≥0)为G(s)的脉冲响应函数.1平稳随机过程理论简述同时二者的功率谱密度有如下的对应关系:2Sy(ω)=
5、G(iω)
6、Sx(ω)(6)1.1随机过程的几个常用定义式(6)中,G(iω)为传递函数G(s)的频率响应.[2]随机过程x(t)自相关函数定义如将一个白噪声信号x(t)通过线性传递函T1Rx(τ)=limx(t)x(t+τ)dt(1)
7、数G(s),得到有色噪声信号y(t),如图1.根据式T→∞2T∫-T(6),因为白色噪声的功率谱为常数,令它为1,功率谱密度:∞则:-iτωSx(ω)=Rx(τ)edτ23∫-∞Sy(ω)=
8、G(iω)
9、=G(iω)G(iω)(7)3(iω)为G(iω)的复共轭.G(s)被称-∞<ω<∞(2)式(7)中,G收稿日期:2000203209作者简介:彭兢(1972-),男,新疆阜康人,博士生,100083,北京.586北京航空航天大学学报2001年为成形滤波器的传递函数形式.工程上常应用此2Δt当Δt→0时,σy→.[3]2a方法来模拟平稳随机过程.说明输出信号的方差与计算步长
10、Δt有关.以上分析说明:对于随机输入连续系统,使用2几个重要的注意事项MATLAB的SIMULINK工具箱进行模拟时,一般的2.1信号源线性系统离散化方法不再适用,必须进行修正.并考虑在MATLAB中用模拟一个图2的系统.且从式(13)中得出这样的近似结论:仿真随机输入连续线性系统时,对普通随机输入信号进行加权,乘以1/Δt,使输出信号的方差趋于理论值.针对这一问题,MATLAB从4.2版本以后,在图2连续输入随机线性系统SIMULINK的工具箱中提供了一个新的白噪声源:假定图2中a为常数,白噪声输入的功率谱有限带宽的白噪声BWN(Band2LimitedWhite密度为1
11、,均值为0,则根据式(5)和式(6)可知,输Noise).它有2个参数:噪声功率(NoisePower)和出信号为平稳随机过程,均值为0,功率谱密度为采样时间(SampleTime).有限带宽的白噪声实际21上是将离散白噪声先加权乘以1/Δt,再经过零Sy(iω)=
12、G(iω)
13、Swn(ω)=22(8)aω+1阶保持后得到的连续噪声信号.式(8)中,Swn(ω)为白噪声信号的功率谱密度.根例如,对于一个功率谱密度为1,均值为0,方据式(4),输出信号y的方差应为差为1的白噪声序列,若用于采样时间为0.01s的1∞1
