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1、七、微分方程（一）一阶微分方程：Fxyy(,,)0′=，yfxy′=(,)或MxydxNxydy(.)+(,)=01、可分离变量：f()xdxgydy=()，积分之可得通解dyyy2、齐次：=ϕ()，令u=，可将原方程化为关于x,u的可分离变量dxxxdy−∫∫Pxdx()Pxdx()3、线性：+=PxyQx()()，通解为ye=[()∫QxedxC+]；或利用常数变易dx∫P()xdx法或利用积分因之法：µ()xe=dyn1−n4、伯努利：+=PxyQxyn()()(≠0,1)，令zy=，可将原方程化为关于x,z的线性．dx（二）可降阶的
2、高阶微分方程：()nI、yf=()x【右端只含x】：连续积分之；dpII、yf′′=(,)xy′【不显含y】：令yp′=,则y′′=，可将原方程化为关于x,p的一阶．dxdpIII、yfy′′=(,)y′【不显含x】：令yp′=，则yp′′=，可将原方程化为关于yp,的一阶dy（三）概念与理论1、概念：阶，解（特解，通解），初始条件，初值问题，积分曲线2、线性微分方程的解的结构：1）齐次：yPxyQxy′′++=()′()0，通解：yCyxCyx=+()()，其中yxyx(),()为该方程线性无关的两个解．1122122）非齐次：yPxyQ
3、xyfx′′′+()+=()()通解：yYxyx=+()*()，其中Yx()为对应的齐次方程的通解，yx*()为原方程的一个特解．3）设yxyx*(),*()分别为yPxyQxyfx′′′+()+=()()121与yPxyQxyfx′′++=()′()()的特解，则2yyxyx**=+()*()12为yPxyQxyfxfx′′++=()′()()＋()的特解．12512《高等数学》(下册)期末总复习一、向量代数与空间解析几何（一）向量代数ggggdddd1、点M(,,)xyz⇔向量OM==(,,)xyzxi+yj+zk；gggd2、点Axy
4、zBxyz(,,),(,,)⇒向量AB=−−−(,,xxyyzz)；111222212121dd3、设aaaabbbb==(,,),(,,)，则xyzxyzdddabababab±=±(,,±±)；λaaaa=(,,)λλλ（λ为数）；xxyyzzxyzdddddådabab⋅=⋅
5、
6、
7、
8、cos(,)abababab=++；xxyyzzdddijkdddddddddddådddabaaa×=，(
9、abab×=
10、
11、
12、
13、
14、sin(,),ababbaba×⊥×⊥,)；xyzbbbxyzddbbbxyzabC⇔==（对应坐标成比例）；aaaxyzd
15、dddabab⊥⇔⋅=0；ddåddab⋅cos(,)ab=dd；
16、
17、
18、
19、abddåddPrjdbb=
20、
21、cos(,)aba（二）曲面、空间曲线及其方程1、曲面及其方程Σ:(,,)0Fxyz=，旋转曲面【绕谁不换谁，正负根号里没有谁；作图时先画母线然后绕其轴旋转之】，柱面【柱面三缺一，缺谁母线就平行于谁；作图时先画准线结合母线特点得柱面】，二次曲面【截痕法与伸缩变形法作图】；要熟悉常见的曲面及其方程并会作图2、空间曲线及其方程：一般方程（面交式）、参数方程；3、曲线（曲面或空间立体）在坐标面上的投影：投xOy便消去z，其余类似4、会作简单立
22、体图形（三）平面方程与直线方程：1、平面方程：d1）一般方程：AxByCz+++=D0，其中nA=(,,)BC为其一法向量．d2）点法式方程：法向量nA=(,,)BC，点Mxyz(,,)∈Π，则Axx()()()−+−+−=ByyCzz0．000000xyz3）截距式方程：++=1abc第1页共11页13⎧AxByCzD+++=011114）平面束方程：过直线⎨的平面束方程为⎩AxByCzD+++=02222()AxByCzD++++λ(AxByCzD+++=)0111122222、直线方程：dx−xyyzz−−0001）对称式方程（点向式
23、方程）：方向向量sm=(,,)np，点M(,,)xyzL∈，则==0000mnp⎧x=+xmt0⎪⎧AxByCzD1111+++=02）参数式方程：⎨y=+yn0t；3）一般式方程：⎨⎩AxByCzD+++=0⎪2222⎩zzp=+t03、面面、线线、线面关系：确定了相应的法向量或方向向量之后，其夹角便转化为向量之间的夹角ddådd
24、
25、nn12⋅+
26、AA121212BB+CC
27、1)面面：cosθ==
28、cos(,nn12)
29、dd=；
30、
31、nn
32、
33、ABCABC22222++++212111222ddΠ⊥Π⇔⋅=⇔nn00AA+BB+CC=；121
34、2121212ddABC111ΠΠ//（或重合）⇔nn//⇔==1212ABC222ddddå
35、
36、ss12⋅+
37、mmnnpp1212+12
38、2)线线：cosθ==
39、cos(,)
40、
