复变函数第二章张建国new

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1、第二章复变函数的积分复变函数的积分理论在复变函数论中占有极其重要的地位．解析函数的许多重要性质，如高阶导数的存在性等，这些表面上看来只与微分学有关的命题，一般都是用复变函数积分来证明的．这也是实变微积分与复变微积分的不同之处．复变函数的积分在应用上也是十分有价值的，例如我们利用复变函数积分通过留数（第四章中将介绍）的计算来求某些实积分的值，而这些实积分如采用高等数学中的积分法来计算，往往较为困难，甚至是很难奏效的．本章先介绍复变函数积分的概念、性质及其计算方法；其次介绍柯西积分定理、柯西积分公式，利用柯西积分公式证明：“解析函数

2、的导数仍然是解析函数”这一重要结论；最后讨论解析函数与调和函数的关系及应用．§2-1复变函数积分的概念在给出复变函数积分的定义之前，先介绍一些与之有密切关系的概念．一、单连域与多连域上章我们介绍过实变复值函数的概念．几何上，一个定义在闭区间[α,β]上的实变复值函数z=z(t)=x(t)+iy(t)，α≤t≤β，（2.1.1）可表示复平面内的一条曲线C，（2.1.1）称为曲线C的参数方程．若x(t)，y(t)在[α,β]上连续即实变复值函数z=z(t)在[α,β]上连续，则称曲线C为连续曲线．实变复值函数在t=α，t=β处的函数

3、值z=z(a)，z=z(β)分别称为曲线C的起点和终点；对满足70αβ<

4、．由有限条光滑曲线衔接而成的连续曲线称为按段光滑曲线．复变函数的积分是定义在有向曲线弧段上的积分．因此，它的值与曲线的方向有关，一般的，简单曲线的正向规定为：从起点到终点所指的方向；简单闭曲线C的正向规定为：当观察者顺此方向前进时，曲线C所围区域一直在C的左手．另外，与复变函数积分紧密相关的概念就是所谓单连域和多连域．定义设E为复平面内的区域，若在E内任意作一简单闭曲线，其内部仍全含于E，则称E为单连域；一个区域若不是单连域，就称为多连域（或复连域）．一条简单闭曲线的内部是单连域．单连域E在几何直观上是其中没有洞或割痕，所以单连

5、域E内的任何一条简单闭曲线可以在E内连续变形不用越过或接触边界点而缩成一点．二、积分的定义定义设函数w=f(z)在区域E内有定义，C为区域E内起点为α终点为β的一条光滑（或按段光滑）的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为α=z，z，z，…，z，z，…，z=β．012k−1kn在每个弧段zz（k=1,2,n）上任意取一点ζ（图2-1），并作kk−1k71和式nnSn=∑∑f()ζζkkk(zz−=−1)f()kk∆z，kk=11=这里∆=−zzz，记∆s为zz的长度，δ=max{∆s}．当δ趋kkk−1kkk−1k1

6、≤≤kn向于零时，若不论对曲线C的分割法及点ζ的取法如何，S有唯一的kn极限，则称函数fz()在C上的积分存在，这个极限值称为函数fz()沿曲线C的积分，记为∫fzdz()，即Cn∫fzdz()=lim∑f(ζkk)∆z．（2.1.2）Cδ→0k=1应当注意：复变函数的积分实际上是曲线积分，z的变动要受到积分路线C的限制，积分值不仅与起点α，终点β有关，往往还与积分路线有关．因此，一般不能把起点为α，终点为β的fz()的积分记β为∫fzdz()，而应记为∫fzdz()．αC图2-1另外，若C为闭曲线，则沿闭曲线C的积分记为∫f

7、zdz()．C72设C是实轴上区间[,]αβ，若函数ft()=ut()+ivt()时，β∫ftdt()是实变复值函数的积分，等价于两个定积分，即αβββ∫∫∫ftdt()=utdti()+vtdt()．ααα特别地，当ft()=ut()时，上述积分就是一元实变函数的定积分．三、积分存在的条件及其计算方法定理设函数fzuxyivxy()=(,)+(,)在区域E内连续，C为E内的有向光滑（或按段光滑）曲线，则fz()在C上的积分存在，且∫∫∫fzdz()=udxvdyi−+vdxudy+．（2.1.3）CCC证将曲线C任意分成n个弧

8、段，设分点z=x+iy（k=1，kkk2，…，n），则∆=−zzz=∆+∆xiy.kkk−1kk在每个弧段上任意取点ζξη=+i(kn=1,2,)，并记δ为n个弧kkk段长度的最大值，则nlim∑fz(ζkk)∆δ→0k=1n=lim∑[(,uξηkk)+iv