复变函数第一章张建国

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1、第一章复数与复变函数所谓复变函数就是自变量为复数的函数，它的理论和运算方法已被广泛地应用于理论物理、弹性物理、天体力学、流体力学、空气动力学、各类电子技术等方面．复变函数研究的主要对象是在某种意义下可导的复变函数，通常称为解析函数．为了建立这种解析函数的基本理论，在这一章中，我们首先介绍复数、复数的运算与复变函数的概念；然后讨论复变函数的极限、连续、可导性与解析性；最后给出常见的初等解析函数及其性质．§1-1复数与复数运算一、复数及其表示法所谓复数，是指形如z=+xiy的数，这里i称2为虚数单位，具有性质i=−1．xy,都是实数，分别称为复数z的实部与虚部，记为xz=Re,yz=

2、Im．如果Imz≠0，而Rez=0，那么z称为纯虚数.如果Imz=0，那么z是实数.因此，实数可以看作是复数的特殊情形，或实数是复数的一部分．但是要注意，实数可以比较大小，而复数却不能比较大小．一个复数z=+xiy，由一对有序实数(,)xy唯一确定，于是建立平面直角坐标系后，复数z=+xiy可由平面上的点P(,)xy来表示（图1-1）．由于实数对应着x轴上的点，故x轴称为实轴；纯虚数对1应着y轴上的点，故y轴称为虚轴，这样表示复数的平面称为复平面或z平面．为了方便起见，今后我们不再区分复数与复平面上的对应点．在复平面上，复数z=+xiy也可以用连接原点O与点P的向量OP

3、来表示（图1-1）．向量OP的长度r叫做复数z的模，记作z，即zr=．实轴正向转到与向量OP方向一致时所成的角度图1-1θ（逆时针方向转动所成的角为正角，否则为负角）叫做复数z的辐角，记作Argz，即Argz=θ．从图1-1可以看出，若z≠0，则22rxy=+>0，(1.1.1)xr=cosθθ，yr=sin．(1.1.2)利用（1.1.2）式可以把复数z表示成下列形式：z=r(cosθ+isinθ)．(1.1.3)这个形式叫做复数z≠0的三角式．利用熟知的欧拉公式iθe=cosθ+isinθ，(1.1.4)就可以把（1.1.3）改写成iθz=re．(1.1.5)这

4、个形式叫做复数z的指数式．为了与三角式及指数式区别，我们把2z=+xiy叫做复数z的代数式．当z=x+iy≠0时，x,y不能同时为零．从（1.1.1）及（1.1.2）可以求出θ．注意到终边相同的角可以相差2π的整数倍，所以θ有无穷多值．为方便计，通常取主值，即把满足条件−π<θ≤π的θ叫做辐角的主值，并记作argz．于是有θπ=Argz=argz+2k,k=±±0，1,2,（1.1.6）yy不难证明，Argz的主值argz用Arctan的主值arctan来表xx示时有如下的关系：yarctan,当x>0,xπ±=,当xy0,≠0,argz=2（1.1.7）yar

5、ctan±π,当xy<≠0,0,xπ,当xy<=0,0.πyπ其中−

6、，必须且只须x=x,y=y；11221212（2）(x+iy)±(x+iy)=(x±x)+i(y±y)；11221212（3）(x+iy)(x+iy)=(xx−yy)+i(xy+xy)；112212122112x+iyxx+yyxy−xy1112122112（4）=+i(x+iy≠0)．222222x2+iy2x2+y2x2+y2显然上述四则运算满足以下规律：交换律：zzzzz+=+,zz=z；12211221结合律：zzzzzzz++=++()(),()()zzz=zz；123123123123分配律：z(z+z)=zz+zz.1231213由于实数是复数的特例，我们在规定复数

7、的四则运算时的一个基本要求是复数的运算法则施行于实数时，能够与实数运算的结果相一致．复数x−iy称为z=x+iy的共轭复数，记作z．显然有z=z，所以x+iy与x−iy互为共轭复数．关于复数的共轭运算，不难证明如下性质：4（1）z±z=z±z；1212（2）zz=z1z2；12zz11（3）()=(z≠0)；2z2z22（4）zz=z；（5）z=z；（6）z+z=2Re(z)；（7）z−z=2iIm(z)．复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式或指数式往往比代数式来得方便．若非