复变函数论 第一章 复数与复变函数.ppt

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1、第一章复数与复变函数§1复数§2复平面上的点集§3复变函数§1复数1．复数域形如或的数，称为复数，其中和均是实数，称为复数的实部和虚部，记为，　，称为虚单位．两个复数，与相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即且虚部为零的复数可看作实数，即，特别地，，因此，全体实数是全体复数的一部分．实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数和称为互为共轭复数，记为或设复数，，则复数四则运算规定：容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律．全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的

2、．２．复平面从上述复数的定义中可以看出，一个复数实际上是由一对有序实数唯一确定．因此，如果我们把平面上的点与复数对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系．由于轴上的点和轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称轴为实轴，称轴为虚轴，这样表示复数的平面称为复平面或平面．图1.13．复数的模与幅角由图1-1中可以知道，复数与从原点到点所引的向量也构成一一对应关系（复数对应零向量）．从而，我们能够借助于点的极坐标和来确定点，向量的长度称为复数的模，记为显然，对于任意复数均有，，另外，根据向量的运算及几何知识，我们可

3、以得到两个重要的不等式（三角形两边之和第三边，图1-2）（三角形两边之差第三边，图1-3）(1.2)与(1.3)两式中等号成立的几何意义是：复数，分别与及所表示的三个向量共线且同向．图1.2图1.3向量与实轴正向间的夹角满足称为复数的幅角(Argument)，记为由于任一非零复数均有无穷多个幅角，若以表示其中的一个特定值，并称满足条件的一个值为的主角或的主幅角，则有注意：当时，其模为零，幅角无意义．从直角坐标与极坐标的关系，我们还可以用复数的模与幅角来表示非零复数，即有同时我们引进著名的欧拉公式：则可化为(1.6)与(1.8)式

4、分别称为非零复数的三角形式和指数形式，由(1.8)式几指数性质即可推得复数的乘除有因此，公式(1.10)与(1.11)说明：两个复数，的乘积（或商），其模等于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或差）．特别当时可得此即说明单位复数乘任何数，几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角度．另外，也可把公式(1.11)中的换成（某个特定值），若为主值时，则公式两端允许相差的整数倍，即有公式(1.9)可推广到有限个复数的情况，特别地，当时，有当时，就得到熟知的德摩弗公式：例1.1求及用与表示的式子解：4.曲线的复数方

5、程例1.2连接及两点的线段的参数方程为过及两点的直线的参数方程为例1.3平面上以原点为心，为半径的圆周的方程为平面上以为心，为半径的圆周的方程为例1.4平面上实轴的方程为，虚轴的方程为.作业:第42页2,3,4§2复平面上的点集1．几个基本概念定义1.1满足不等式的所有点组成的平面点集（以下简称点集）称为点的，记为．显然，即表示以为心，以为半径的圆的内部定义1.2设为平面上的一个点集，若平面上一点的任意邻域内具有的无穷多个点，则称为的内点．定义1.3若的每个聚点都属于，则称为闭集．若的所有点均为内点，则称为开集定义1.4若，，均

6、有则称为有界集，否则称为无界集．2.区域与约当(Jordan)曲线定义1.5若非空点集满足下列两个条件：(1)为开集．(2)中任意两点均可用全在中的折线连接起来，则称为区域（图）定义1.6若为区域的聚点且不是的内点，则称为的界点，的所有界点组成的点集称为的边界，记为，若，使得，则称为的外点定义1.7区域加上它的边界称为闭区域，记为例1.5平面上以点为心，为半径的圆周内部（即圆形区域）：例1.6平面上以点为心，为半径的圆周及其内部（即圆形闭区域）例1.5与例1.6所表示的区域都以圆周为边界，且均为有界区域例1.7上半平面下半平面它

7、们都以实轴为边界，且均为无界区域．左半平面右半平面它们都以虚轴为边界，且均为无界区域．例1.8图1.4所示的带形区域表为.其边界为与，亦为无界区域．例1.9图所示的圆环区域表为其边界为与，为有界区域．定义1.8设及是两个关于实数在闭区间上的连续实数，则由方程所确定的点集称为平面上的一条连续曲线，(1.13)称为的参数方程，及分别称为的起点和终点，对任意满足及的与，若时有，则点称为的重点；无重点的连续曲线，称为简单曲线（约当曲线）；的简单曲线称为简单闭曲线．若在上时，及存在节不全为零，则称为光滑（闭）曲线．定义1.9由有限条光滑曲

8、线连接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线．定理1.1（约当定理）任一简单闭曲线将平面唯一地分为、、三个点集（图1.5），它们具有如下性质：(1)彼此不交．(2)与一个为有界区域（称为的内部），另一个为无界区域（称为的外部）(3)若简单折线的一个端点属于，另一个端点属