第二章. 复变函数的积分new

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1、第2章复变函数的积分在实变函数的微积分学中，微分法、积分法是研究函数性质的重要方法。同样，在复变函数中，微分法、积分法是研究复变函数性质的重要方法和解决实际问题的有力工具。2.1复变函数的积分—复平面上的线积分一、复变函数积分的定义与实数函数的积分相似，复变函数的积分定义为和的极限。1．定义：(1)设L为复平面上由A到B的一条光滑的曲线，w=f(z)在L上有定义；(2)将L任意分成n段，为第ξkk段上的任意一点;[zk−1,zk](3)当，且时，若和式的极限n→∞maxΔzk→0nlim∑f(ξk)ΔzkmaxΔzk→0k=1存在，并且极限值与和的选取

2、方式无关，则称它Δzξkk为f(z)沿L从A到B的积分，记作：n∫f()zdz=lim∑f()ζkkΔzmaxΔ→z0Lk=1积分存在的条件：（1）积分曲线L是分段光滑的曲线；（2）被积函数f(z)是积分曲线上的连续函数。2．复变函数积分的计算—分解为实变函数的积分的计算方法一：f(z)=u+iv，dz=dx+idy∫∫f()zdz=+(uivdxidy)(+=)∫(udxvdy−+)i∫(vdxudy+)LLLL——复变函数的积分分解为两个实变函数的线积分方法二：若曲线L用参数方程z=z(t)表示α≤t≤β，则dz=ztdt′()β∫∫f()zdz=

3、fztztdt[()]()′Lα二、复变函数积分的性质（可由实变函数积分性质得到）1.dz=z−z∫BALAB2.∫∫f()zdz=−f()zdzLLABBA3.∫∫kfzdz()=kfzdz()k：复常数LL4.[()fz±=±fzdz()]fzdz()fzdz()∫∫121∫2LLL5.∫∫∫f()zdz=+fzdz()fzdz()LL12+L1L26.∫∫f()zdz≤fzdz()LL证明：三角不等式zzzz1212+≤+推广为：nn∑zk≤∑zkk=1k=1nn∫∫f()zdz=Δlim∑∑f()ζζkkz≥Δlimf()kkz=fzdz()m

4、axΔ→zzkk0maxΔ→0Lkk==11L7.若f()z在曲线L上的最大值为M，曲线L的长度为S，则∫fzdzMS()≤L证明：∫∫f()zdz≤≤fzdzMdzMS()∫≤LLL例：计算∫RezdzL1.取为由Li01→+的直线2.Li取为由0→→+11的折线解：1.直线方程y=x的参数方程为⎧x=t⎪⎨y=t⎪⎩0≤t≤1则有：z=x+iy=(1+i)t和dz=(1+i)dt111+i∫∫Re()zdz=+=+=t(1idt)(1itdt)∫2L002.(i)由01→直线的参数方程为x=t,y=0(0≤t≤1)则:z=t,dz=dt11∫Re(

5、z)dz=∫tdt=L102(ii)由11+→i直线的参数方程为x=1,y=t(0≤t≤1)则:z=1+it,dz=idt1∫Re(z)dz=∫idt=iL20故1∫∫LLRe(z)dz=L+Re(z)dz=∫LRe(z)dz+∫LRe(z)dz=+i121212结论：对于函数Re(z),积分与路径有关。∫LRe(z)dz24+i2例：计算∫zdz1+i21.沿抛物线y=x2.沿连接点12+ii到的+4直线段3.沿12++ii到然后再到2+4i的折线2解:1．抛物线参数方程为xtyt=,=≤，其中1t2≤22则z=x+iy=t+it，dz=+=+dti

6、t()(1itdt2)24+i222222244324∫∫zdzti=+()t(1+itd2)[ttttd=−−∫()4][tittttd+∫22+−()]t11+i1186=−−6i3２．12++ii到4的直线方程为：y=3x−2参数方程为：xtyt==和32(−≤1t≤2)则zxi=+=+−ytit(32)dz=+−=+dtit[(32)](13idt)24+i22286∫∫zdz=[(tit+−+=32)](13idt)−−6i311+i３．沿折线(1)从1+i到2+i线段的方程x=t;y=1;1t2≤≤则ztid=+,zd=t22+i22222

7、4∫∫zdz=()tidt+=−+=∫(1t)dti∫2tdt+3i311+i11(2)从2+i到2+4i线段的方程x=2;y=t;14≤t≤则zxi=+y;dz=idt24+i444222∫∫zdz=(2+=+−=itidt)∫∫itidti4(4tdt)−309−i11+i11486∫∫∫=+=++−−=−−(3iii)(309)633LLL122结论：对于函数沿着不同的路径积分相同。f(z)=z计算与4.2节留数定理有关的复变函数积分的极限的例子见p29[例2.1.2]和p30[例2.14]。2.2解析函数的柯西定理原函数与定积分公式复习：二元函

8、数积分的格林公式实变线积分∫PdxQdy+在单连通区域D内与路径无关L的充要条件：∂PQ∂∂P